Siguen aterrizando los colaboradores del programa y el regreso de las mates al programa significa que Raul Ibáñez vuelve a sentarse cada dos martes en nuestro estudio para contarnos historias y ponernos problemas para poner la mente en movimiento. Lleva años ya Raul colaborando con Radio Euskadi para divulgar las matemáticas, una labor que realiza también a través del portal Divulgamat y del Cuaderno de Cultura Científica de la UPV-EHU.
En nuestras charlas de los martas los oyentes tienen la oportunidad de practicar ejercicios mentales con problemas como éste.
Problema factorial:
Empecemos recordando que significa en matemáticas la operación factorial, es la multiplicación de todos los números desde uno hasta el que nos interesa, así, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Resulta que le he pedido a mi ordenador que calcule el factorial de 20, 20!, pero al imprimirlo han salido borrosos las cinco últimas cifras, así
20! = 2.432.902.008.176.6AB.CDE
El problema consiste en adivinar el valor de esas últimas cinco cifras (A, B, C, D y E), OJO!!!! sin hacer la cuenta. Entre las respuestas correctas que nos mandéis, vía blog o al correo lamecanicadelcaracol@eitb.com, sortearemos el libro de Verónica Navarro x, y, z y algún libro de enigmas matemáticos de los que nos deja Raul.
Y como detalle extra, este vídeo con la charla que nuestro colaborador dio hace unos meses en una jornada sobre innovación y matemáticas organizada por Innobasque, en la que habló sobre las innumerables y poco conocidas aplicaciones útiles y cotidianas que partieron de fundamentos de la matemática pura.
Se solicitan las 5 últimas cifras de 20!, es decir, del producto 1x2x3x4x……x19x20
Si un número se multiplica por un número distinto de 0 que termina en 0 el resultado terminara en 0, y si dicho número se multiplica por cualquier otro, el resultado seguirá terminando en 0.
10 y 20 terminan en 0 por lo que las dos últimas cifras solicitadas serán 0 (D y E).
Además, 2 x 5 es 10, por lo que podemos concluir que las 3 últimas cifras serán 0 (C, D y E).
Además, 12 x 15 es 180, por lo que podemos concluir que las 4 últimas cifras del resultado son 0 (B, C, D y E).
Por desgracias, no encontraremos entre los números que no hayamos utilizado para obtener los anteriores, ninguna combinación cuyo producto de un resultado que termine en 0. Por lo tanto, debemos concluir que el número correspondiente a la decena de millar (A) no es 0.
El problema que queda por resolver es calcular dicho número. Para ello, no debemos utilizar los números cuyo producto termina en 0 ni aquellos que terminan directamente en 0 y también podemos descartar el 1 y el 11 ya que no van a alterar dicho número.
Por lo tanto utilizaremos los números 3, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 16, 17, 18 y 19.
Sin embargo, sabemos que los dígitos de decenas utilizados en una multiplicación no determinan el número de unidad del resultado, por lo que podemos simplificar la multiplicación a realizar utilizando los números 3, 4, 6, 7, 8 y 9 dos veces.
El resultado de 3x4x6x7x8x9 es 36288 y como debemos multiplicarlo por si mismo el resultado en el dígito de unidad será 4, por ser 8×8=64.
Por lo tanto el número solicitado termina en 40000.
De todas formas, para determinar cuál es el número “A” puede resultar más sencillo ir realizando las multiplicaciones teniendo únicamente en cuenta el dígito de unidades ya que los únicos número que determinaran el número de unidad del resultado y esta operación se podría realizar de memoria. Asi pues:
3×4=12
2×6=12
2×7=14
4×8=32
2×9=18 (en este momento se podría no seguir haciendo 8×8=64. Resultado 4 o seguir)
8×3=24
4×4=16
6×6=36
6×7=42
2×8=16
6×9=54
Por lo que el resultado del dígito que buscamos es “A”=4 y si añadimos los cuatro ceros tenemos el 40000.
A=4
B=0
C=0
D=0
E=0
Esperando haber acertado tanto e resultado como haber respetado la premisa de “no hacer la cuenta” ( que de alguna manera he tenido que hacer).
Un saludo y felicidades por el programa.
Iñigo