Uno de los temas matemáticos más populares fuera de las matemáticas es la divina proporción. Este es un tema que ha interesado mucho a artistas (pintores, diseñadores, arquitectos, músicos o escritores) y al público general, y que está asociado con la perfección y la belleza. Por lo tanto, no podíamos dejar de hablar en este espacio sobre este tema, a pesar de lo geométrico (y visual) del mismo.

Como aperitivo podemos decir que navegando la semana pasada por la red, acabé llegando a la página de Aston Martin, que es el coche del agente secreto 007, James Bond, desde que lo utilizara por primera vez Sean Connery en la película “Goldfinger” (1964). En esta página se afirma que la utilización de la razón áurea en los diseños de los coches Aston Martin es uno de los elementos que contribuye a su perfección,… “la razón áurea está en el corazón de cada Aston Martin”. Y tres son los modelos en los que se indica explícitamente que se ha hecho uso de la divina proporción en su diseño, el modelo Rapide S (2013-2015), el nuevo modelo DB9 (2014) y el modelo V8 Vantage (2013).

Pero, ¿qué es la razón áurea? La verdad es que es un concepto matemático que surge de una cuestión puramente teórica en la Grecia clásica. Aunque ya lo estudiaron los pitagóricos, aparece en el libro “Los Elementos” de Euclides, de la siguiente manera…

“dado un segmento, encontrar el punto tal que el cociente entre la parte mayor y la menor sea igual al cociente entre la longitud total del segmento y la parte mayor”.

Con un poco de álgebra (que no es más que la fórmula se la ecuación de segundo grado) se obtiene que su valor es phi = 1,6180339887…
Y esto es lo maravilloso de las matemáticas, que este número que surge de la matemática teórica, resulta ser el responsable de la distribución de las semillas de los girasoles o de las hojas de una planta.

Resulta que según va creciendo una planta, las hojas que van apareciendo alrededor del tallo lo hacen cada una formando un ángulo de aproximadamente 137,5º respecto a la anterior (para aprovechar mejor la luz solar que les llega a las hojas); y lo mismo ocurre con las semillas de los girasoles que van apareciendo alrededor del centro cada una con un ángulo de 137,5º respecto de la anterior (para que las semillas aprovechen completamente el espacio en la cabeza del girasol)…

¿Pero qué tiene que ver este ángulo con la razón áurea? Pues este es el ángulo áureo, ya que, dada una vuelta entera, es decir, si consideramos el segmento entre 0º y 360º, y lo dividimos en dos partes para que tengan una proporción áurea, como en el problema original de Euclides, nos dan dos segmentos de 222,5º y 137,5º (y este es el menor de 180º), que son uno “conjugado” del otro.

El tema de las proporciones, y también la proporción áurea, tiene interés, por ejemplo, en relación con los rectángulos, ya sean hojas de papel, cuadros, ventanas o las plantas de los edificios. Y dos rectángulos con la misma proporción entre sus lados (largo y alto), es decir, que el cociente entre ellos es el mismo, tienen la misma forma, esto es, si ampliamos uno llegamos a obtener el otro.

Y un rectángulo será áureo, por lo tanto, si el cociente de sus lados es el número de oro, lo que geométricamente tiene un significado especial… ya que significa que si tomamos el rectángulo y le quitamos el cuadrado de lado igual al lado pequeño del rectángulo, el rectángulo que queda también es áureo, es decir, tiene la misma forma que el primero…

Y podríamos seguir haciendo estas divisiones, de forma que conseguiríamos una red de cuadrados y rectángulos que nos permiten además construir la espiral áurea… mediante trozos de circunferencia trazados dentro de los cuadrados, y de forma que un trozo de circunferencia se continúe con el siguiente…

La espiral áurea nos recuerda a la espiral logarítmica, que es la espiral del crecimiento de la concha de los Nautilus, o de los caracoles…

El pintor surrealista Salvador Dalí utiliza esta descomposición y la espiral áurea de una forma muy explícita en su cuadro “Semitaza gigante volante con anexo de 5 metros de longitud” (1946).

Dalí también utiliza la razón áurea en otros dos cuadros, “La última cena” y “Leda atómica”, conectados con la razón áurea a través del pentágono y el pentagrama.

Otros artistas han utilizado la razón áurea en sus obras,… cubistas como Juan Gris o Marcel Duchamp (recordemos que ellos, junto a otros cubistas del grupo de Puteaux, montaron una exposición y una revista llamada precisamente Section d’Or), pintores abstractos como Piet Mondrian, Josef Albers, Max Bill, Jose María Yturralde o la “surrealista” Maruja Mallo (cuyo cuadro Arquitectura Humana, puede verse en el Museo de Bellas Artes de Bilbao, y en él, como en muchos otros de sus cuadros, hace uso de la proporción áurea).

Pero fue el arquitecto Le Corbusier quien recoge la idea renacentista del cuerpo humano como medida de la arquitectura, y su relación con la proporción áurea, en las dos series de medidas de El Modulor, y que utiliza en muchas de sus obras, como el Edificio de las Naciones Unidas o la Unidad Habitacional de Marsella.

Antonio Stradivari (1644-1737) hizo uso de la divina proporción en el diseño de sus extraordinarios violines, que hoy conocemos con el nombre de “violines Stradivarius”.

El origen del enorme éxito de este concepto matemático, el número de oro, está seguramente en los trabajos del físico y psicólogo alemán Gustav Fechner (1801-1887) sobre la belleza del rectángulo áureo, y la supuesta preferencia que tienen las personas a esta forma rectangular sobre cualquier otra, los estudios sobre las proporciones dinámicas del artista canadiense Jay Hambidge (1867-1924), pero sobre todo, los libros “Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las artes” (1927) y “El número de oro” (1931) del polifacético rumano Matila Ghyka (1881-1965), y que tuvieron un gran impacto en el mundo de la cultura. Aunque muchas de las afirmaciones que aparecen en los mismos sean de dudosa veracidad.

Por ejemplo, se suele citar que el Partenón está diseñado teniendo en cuenta la divina proporción, pero según muchos autores no hay ninguna evidencia de que eso sea así y si vemos las imágenes del rectángulo de oro sobre el Partenón, la verdad es que es bastante dudoso, por no citar que las propias medidas del edificio bailan dependiendo de quien las cite. Parece ser más un ajuste a posteriori que una intención de su autor. Lo mismo ocurre, por ejemplo, con la obra La Mona Lisa de Leonardo da Vinci. Aunque de eso ya hablaremos otro día.

A pesar de todo, la razón áurea es hoy en día una referencia estética obligada y muy importante. En mi artículo de la semana pasada en el Cuaderno de Cultura Científica ¿Es áureo el Aston Martin de James Bond? Podéis ver algunas obras gráficas del libro “Golden Meaning” que recoge obras relacionadas con la divina proporción de 55 artistas y diseñadores gráficos.

Y para terminar un clásico, la poesía de Rafael Alberti sobre la divina proporción…

A LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura.
Misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente
A ti, divina proporción de oro.