La nueva aportación de Raul Ibáñez a la divulgación de las matemáticas trata sobre cuadrados latinos y los ahora tan populares sudokus.

Hoy todo el mundo sabe lo que es un Sudoku. Desde que se introdujeran los Sudokus, a principios del verano de 2005, este rompecabezas se ha convertido en todo un fenómeno de masas. Los Sudokus han invadido los periódicos, se publican revistas de Sudokus, libros de Sudokus, hay Sudokus en los móviles, juegos de Sudokus en las tiendas de juguetes, para todas las edades, programas de ordenador con Sudokus, colecciones por entregas relacionadas con el Sudoku en los estancos o incluso Sudokus para niños. Pero hoy no vamos a hablar de los Sudokus, sino de su ascendente… el cuadrado latino.

Para empezar, qué es eso de los cuadrados latinos. Un cuadrado latino de orden n es un retículo cuadrado de tamaño n x n en el que cada entrada es un número del 1 al n de tal forma que cada número de {1,…, n} aparece una vez, y sólo una vez, en cada fila y cada columna. Un ejemplo de cuadrado latino de orden 3 sería un cuadrado 3×3, con las siguientes entradas… (1,2,3) en la primera fila, (2,3,1) en la segunda y (3,1,2) en la tercera.

1 2 3
2 3 1
3 1 2

Los sudokus no son más que cuadrados latinos, ya que en cada fila y cada columna aparecen una vez, y solo una vez, cada número del 1 al 9, pero además con una condición extra, que en las nueves regiones 3×3 en las que se divide el cuadrado 9×9 del sudoku también tienen que aparecer una sola vez los números del 1 al 9.

En los cuadrados latinos, pero también en los sudokus, se pueden considerar diferentes tipos de símbolos, no necesariamente los números, puesto que la propiedad es más bien una cuestión de relación de los símbolos y no hace uso de ninguna propiedad aritmética de los números. En los cuadrados latinos, y en los sudokus, se pueden considerar símbolos cualesquiera, por ejemplo, las letras del alfabeto latino, colores, flores,… cualquier cosa que se nos ocurra.

Los cuadrados mágicos sin embargo, sí necesitan de los números. Recordemos que es un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico de orden n, es una distribución de los primeros n2 números (para orden 3, los 9 primeros números, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), sobre las casillas de un cuadrado n x n, (en nuestro caso particular un cuadrado 3 x 3), de forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea siempre la misma. Esencialmente, el cuadrado mágico de orden 3 es… (492/357/816)… para el que se verifica que la suma de las filas es 15… por ejemplo, la primera… 4 + 9 + 2 = 15; de las columnas, como la primera, 4 + 3 + 8 = 15; o de las diagonales, 4 + 5 + 6 = 15 = 8 + 5 +2; a ese número se le llama constante del cuadrado mágico. Como vemos para estos sí es necesario el uso de números. Para quien esté interesado en los cuadrados mágicos, les recomiendo la serie de artículos del Cuaderno de Cultura Científica… Habibi y los cuadrados mágicos. [Habibi es un cómic en el que aparecen cuadrados mágicos]

El origen de los cuadrados latinos se remonta por lo menos a los alrededores del año 1.000 en los que las comunidades árabe e india los utilizaban, junto a los cuadrados mágicos, como amuletos o talismanes. Aunque eran los cuadrados mágicos los diseños numéricos cuadrados que eran más habituales y desde muchísimo tiempo antes, también se utilizaron cuadrados latinos, y con un uso similar, “se les relacionaba con los planetas y con la alquimia, con la magia y la astrología, con la numerología, y también se utilizaban para sanar o como amuletos”, para combatir a los demonios o reverenciar a los dioses.

Los primeros cuadrados latinos que aparecen en una publicación son, que sepamos, los contenidos en el libro del sufí, escritor esotérico y matemático árabe Ahmad al-Buni (murió en el 1225), “Shams al-Ma’arif al-Kubra” (El sol del gran conocimiento), quien se interesó por sus poderes mágicos como talismanes, por su valor místico, construyó cuadrados latinos 4 x 4 con las letras de uno de los 99 nombres de Alá, y, desde un punto de vista matemático, como herramientas para construir cuadrados mágicos.

Por otra parte, en el siglo XIII, el filósofo y escritor mallorquín Ramón Llull (1232-1315) construye en su texto Ars Demostrativa (1283) cuatro cuadrados latinos de orden 4, cuyos símbolos eran fuego, aire, agua y tierra, en sus esfuerzos por explicar el mundo mediante métodos combinatorios.

Construir cuadrados latinos es muy fácil. Por ejemplo, en la primera fila se ponen todos los números, o los símbolos que utilicemos, en orden y en las demás filas se van rotando cíclicamente una posición. Para el orden 5, empezaríamos con 12345, luego 23451, después 34512… es decir rotando una posición, respecto a la anterior fila.

Ejemplos de cuadrados latinos aparecen en muchos sitios.

1) Para empezar, en las propias matemáticas. Así, las tablas de multiplicar (llamadas tablas de Cayley) de los grupos algebraicos finitos son cuadrados latinos, y cuyos símbolos son los elementos del grupo. Pero hoy no vamos a hablar de álgebra… solo mencionar que los grupos son estructuras algebraicas muy importantes en matemáticas, y con importantes aplicaciones en física, química, astrofísica, criptografía, cristalografía e incluso en la creación y análisis de juegos, como el cubo de Rubik.

2) Torneos. Un ejemplo sencillo es el diseño de calendarios para torneos. Supongamos que tenemos que diseñar el calendario de partidos de un torneo de tenis con 2n jugadores que tienen que jugar un partido con cada uno de los otros jugadores en 2n-1 rondas, jugando n partidos simultáneamente en cada ronda.

Si uno plantea el sencillo problema para 4 jugadores, puede encontrar fácilmente una solución:

ronda 1: 1 juega con 2, 3 juega con 4
ronda 2: 2 juega con 3, 1 juega con 4
ronda 3: 3 juega con 1, 2 juega con 4

Si escribimos una tabla tal que en las filas y columnas indicamos los jugadores, y dentro ponemos la ronda en la que se juega el partido (indicando por 0 que no se juega) tenemos un cuadrado latino 4×4.
1 2 3 4
— ———–
1  | 0 1 3 2
2  | 1 0 2 3
3  | 3 2 0 1
4  | 2 3 1 0

Este es el sencillo cuadrado latino de las rotaciones cíclicas, pero si además hay condiciones extra en el torneo (fechas, campo en el que jugar o lo que sea), entonces se elegirán otros diseños de cuadrados latinos distintos a ese más sencillo.

Y en general, los diseños de cuadrados latinos se aplica a situaciones de creación de horarios, organización de reuniones bilaterales,… que pueden ser mucho más complejas aún.

O una variación de este tema es lo que se conoce como “el problema del matrimonio”, el posible diseño de organización de citas de un grupo de n mujeres con n hombres, a lo largo de n días.

3) Diseño de experimentos estadísticos. Veámoslo con un ejemplo.

Supongamos que nos interesan los rendimientos de 4 variedades de trigo con el uso de 4 fertilizantes, que testaremos durante un período de 4 años. Podemos seleccionar un diseño de cuadrados latinos para el estudio estadístico, con 16 “combinaciones”…

En este caso las entradas del cuadrado son las variedades de trigo (A,B,C,D) y las dos fuentes de variación adicional (es decir, filas y columnas del cuadrado) son los fertilizantes (filas) y los años de siembra (columnas).

Fila                       Columna: 1 2 3 4
1                                    A B C D
2                                    C D A B
3                                    D C B A
4                                    B A D C

Por lo tanto, un cuadrado latino nos dará una forma de realizar el experimento. Por supuesto, que a la hora de extraer la información habrá que utilizar todas las potentes herramientas de la estadística.

4) Arte moderno. Los cuadrados latinos también aparecen en el arte moderno, en concreto son una fuente de inspiración para uno de los artistas cuyo arte se enmarca dentro del constructivismo y el arte concreto, el pintor y artista gráfico suizo Richard Paul Lohse (1902-1988).

Lohse pinta series de estructuras reticulares de cuadrados y rectángulos en las cuales el estudio del color es una parte fundamental. En algunas de sus obras utiliza directamente el concepto de cuadrado latino en el que los colores (elegidos según sus intereses estéticos) son los símbolos del cuadrado latino, de orden 6 (luego con seis colores). Para quienes estéis interesados podéis verlos en el artículo del Cuaderno “Cuadrados latinos, matemáticas y arte moderno” o en el blog de este programa…

En otra serie de cuadros juega a modificar la estructura perfectamente cuadrada de las celdillas del cuadrado convirtiéndolas en rectángulos de diferentes dimensiones, y además considerando cuadrados latinos, de colores, de órdenes mayores o iguales que 6.

Además, esa transformación de los cuadrados e rectángulos, por ejemplo, en las direcciones horizontal y vertical, y según se van acercando al centro, puede llegar a generar en el cuadro una ilusión de que en esas direcciones centrales el cuadro se hunde hacia dentro…

Lo curioso es que a partir de los cuadrados latinos del artista Richard P. Lohse se ha introducido en matemáticas un nuevo concepto de estructura algebraica, los grupos con la propiedad de Lohse.

Existen otro tipo de cuadrados relacionados con los cuadrados latinos, los cuadrados greco-latinos, de los que ya hablaremos en otro momento… de hecho hoy os dejo con un problema que tiene que ver con los cuadrados greco-latinos, o también llamados cuadrados de Euler, porque fue quien los introdujo…