Mateadictos: desafíos matemáticos con orisangakus

Raul Ibáñez ha dedicado su última sección matemática en La mecánica del caracol a los orisangakus. Esto es lo que nos ha contado sobre estos apasionantes desafíos matemáticos:

“Recientemente se ha publicado el libro Orisangakus, Desafíos matemáticos con papiroflexia, de María Belén Garrido. Este es el último libro publicado de la interesante colección Biblioteca de Estímulos Matemáticos, publicada por la editorial SM y la Real Sociedad Matemática Española, y que incluye los siguientes libros hasta la fecha: i) Círculos matemáticos; ii) Desafíos matemáticos, propuestos por la RSME en su centenario; iii) ¡Ajá! Soluciones, soluciones ingeniosas para 100 problemas en apariencia difíciles; iv) Gardner para principiantes, enigmas y juegos matemáticos; v) Lilavati, matemática en verso del siglo XII.

El término Orisangaku es el resultado de mezclar las dos palabras de origen japonés, origami y sangaku.

El origami, o papiroflexia es el arte de realizar figuras, de seres animados u objetos, doblando una hoja de papel, para lo cual, en principio, solamente se puede doblar el papel, pero no cortarlo o pegarlo. Casi todo el mundo, al menos en su juventud, ha realizado sencillos modelos de papiroflexia como la pajarita, la rana, el barco o el avión. La verdad es que, aunque pueda sorprender, las posibilidades son infinitas, y existen verdaderas obras de arte de todo tipo de elementos,… animales… desde insectos, arañas o crustáceos a leones, perros, gatos, osos, jirafas, pasando por todo tipo de aves o peces, pero también dinosaurios, o seres imaginarios como los dragones, objetos… como coches, aviones, casas, muebles, máscaras y un largo etcétera, que incluye objetos de las matemáticas.

El origami fue inventado por los japoneses y su origen está ligado al del papel. Este se inventa en China entre los siglos I y II (de nuestra era) y pasa a Japón hacia el siglo VI. Debido a que el papel era un artículo de lujo, al principio el origami fue un divertimento de las clases altas, que incorporarían las distintas figuras a sus ceremonias sociales. Los samuráis intercambiaban regalos acompañados con trozos de papel doblado con forma de abanico.

En los siglos XIV-XVI el papel empezó a ser más accesible, y empezaron a realizarse adornos de papel plegado que reflejaban la clase social de quien los realizaba. Después llegaría la gran democratización de la papiroflexia, período del que surge el pájaro que es la base de la popular grulla japonesa (sería lo similar a nuestra pajarita). Uno de los libros legendarios de esa época es “Cómo doblar mil grullas” (1797) relacionado con la creencia popular de que cualquier deseo que tengamos se cumplirá si se doblamos mil grullas.

Pero ¿qué tiene que ver la papiroflexia con las matemáticas? Por una parte, se puede utilizar la papiroflexia para la realización de objetos geométricos y matemáticos. Por ejemplo, hay una parte de la papiroflexia, menos ortodoxa, que se llama “papiroflexia modular” en la cual se generan ciertas piezas plegando papel (normalmente, todas con el mismo diseño o similar) y al ensamblarlas se obtiene el objeto matemático. Así se pueden desarrollar por ejemplo bellos poliedros, como los sólidos platónicos (tetraedro, cuadrado, octaedro, icosaedro y dodecaedro) o poliedros más sofisticados, como el icosaedro estrellado, el cuboctaedro o el rombicosidodecaedro.

Esto se puede utilizar como divertimento, para obtener modelos de poliedros reales, tanto como objetos decorativos, como para ayudarnos a entender mejor estos objetos geométricos, e incluso como una herramienta didáctica.

También se pueden hacer otros objetos matemáticos, como por ejemplo, superficies… como un toro modular, es decir, es la superficie de un flotador o un donut (mi compañero y amigo José Ignacio Royo realizó esta preciosa figura, e incluso un 2-toro, es decir, una especie de flotador doble) o un paraboloide hiperbólico, esta superficie muy utilizado en arquitectura, es una especie de silla de montar, y se puede realizar plegando un simple papel cuadrado. O fractales… en algunos modelos cortando el papel y en otros sin cortar.

También se pueden hacer figuras planas, como polígonos (por ejemplo, pentágonos, hexágonos u octógonos regulares), el pentágono del llamado teselado de El Cairo, rectángulos con proporciones famosas, como la razón áurea, la raíz de dos (que es nuestro DIN A) o la raíz de tres, espirales e incluso de pueden visualizar resultados matemáticos, como que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º o el teorema de Pitágoras, por citar solo algunas cosillas.

Pero, la relación de las matemáticas con el origami va mucho más allá, puesto que las matemáticas pueden ser una herramienta fructífera para estudiar los diseños de las figuras (por ejemplo, su mapa de cicatrices, que son los pliegues que quedan en el papel al desplegar de nuevo el papel de la figura) y por lo tanto, también, para realizar nuevos diseños. De hecho, existe todo un estudio matemático sobre los mapas de cicatrices y se han desarrollado programas informáticos para ayudar en el nuevo diseño de figuras.

Pero vayamos a la segunda parte del título del libro que estamos comentando… los sangakus.

En el período EDO (1603-1867) en Japón, tiempo en el que Japón estuvo prácticamente aislado del exterior, existía la tradición de colgar tablillas de madera, o de papel, de los aleros de los tejados de los templos y santuarios, en los que se planteaban problemas matemáticos, normalmente geométricos. Son los sangakus (palabra japonesa que significa “tablilla matemática”). Eran problemas de matemática recreativa dirigidos a todo el mundo y que podían resolver tantos los campesinos, como los comerciantes o los samuráis.

Se han conservado unos 880 sangakus, y muchos otros se conocen a través de textos que se publicaron en el período EDO, aunque muchísimos más son los que se han perdido. El sangaku más antiguo del que se tiene referencia data de 1668, aunque la tablilla más antigua que se conserva es de 1683. Y la primera colección de sangakus que se publica es de 1789.

Normalmente cada sangaku contenía varios problemas y la decoración de la tablilla solía ser muy colorida. La mayoría de los problemas que aparecen son geométricos, más concretamente de geometría euclidiana (es decir, la geometría normal, la del plano y el espacio), y en ellos solían aparecer circunferencias, elipses, esferas, y otras figuras, que normalmente se colocaban unas dentro de otras, y pidiéndose calcular algún aspecto relacionado con la distribución dibujada. Aunque también existían otros tipos de problemas, por ejemplo, problemas diofánticos (es decir, relacionados con ecuaciones algebraicas en las que se buscaban soluciones de números enteros).

Volviendo al libro Orisangakus, desafíos matemáticos con papiroflexia, de María Belén Garrido, publicado por la editorial SM y la Real Sociedad Matemática Española, su autora elige 40 diseños de figuras geométricas de papiroflexia, que incluyen desde una pajarita, aves o aviones, hasta cajitas de papel, pasando por el teselado de El Cairo, espirales, polígonos regulares (como el pentágono), poliedros (tetraedro, cubo o dodecaedro, entre otros), o incluso una cápsida de virus, y con cada diseño plantea un problema geométrico, al estilo de los que aparecen en los sangakus, y finalmente plantea alguna curiosidad relacionada con el diseño de papiroflexia mostrado”.

Problema (Sangaku):

Las tres circunferencias de la figura son tangentes entre sí y también a la recta horizontal, calcúlese la relación entre los radios de las tres circunferencias.
orisangakusSolución. Sin títuloLa ganadora del sorteo es Esther, que nos ha dejado una de las posibles respuestas correctas en un comentario.

 

 

5 thoughts on “Mateadictos: desafíos matemáticos con orisangakus

  1. Rafa Iturbe

    La respuesta al problema matemático planteado el 2/2/16 es:
    raíz(r1.r2)= raíz(r1.r3) x raíz(r2.r3)
    siendo r1 y r2 los radios de las circunferencias más grandes y r3 el de la pequeña

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  2. Guillermo Zoratti

    Nos referiremos a la fórmula de Descartes de los círculos tangentes.: Dado cuatro círculos de curvatura Ra;Rb;Rc y Rd cada uno tangente a los otros tres, entonces tenemos:
    (Ra^2 + Rb^2 +Rc^2 +Rd^2)= 1/2 *(Ra+Rb+Rc+Rd)^2

    Si ahora suponemos que la recta tangente tiene radio infinito, su curvatura es cero, entonces tenemos:
    (C1^2 +C2^2 +C3^2)= 1/2 *(C1+C2+C3)^2
    Sabiendo que C1=1/c1 ; C2=1/c2 y C3=1/c3
    operando nos queda la relación buscada:

    (1/(c1)^1/2)= (1/(c2)^1/2)+(1/(c3)^1/2)
    en palabras: la inversa de la raíz cuadrada del círculo de radio c1 es iguala la suma de la inversa del cuadrado del círculo de radio c2 y c3..

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