Mateadictos: buscando números cuadrados

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El último reto de 2016 que nos deja Raúl Ibáñez es éste: Buscar un número cuyo cuadrado sea de la forma aabb

Solución :

Para empezar, observemos que un número de la forma aabb se puede escribir como

aabb = a ´ 1000 + a ´ 100 + b ´ 10 + b

luego consideramos los dos primeros sumandos a ´ 1000 + a ´ 100 y podemos sacar como factor común a ´ 100 y queda

(10 +1) ´  (a ´ 100 ) = 11 ´  (a ´ 100 ),

y lo mismo para los dos últimos sumandos b ´ 10 + b, que sacando b como factor común queda 11 ´  b. Entonces, queda

aabb = 11 ´  (a ´ 100 + b)

Es decir, 11 divide a aabb, pero si es un número cuadrado, realmente está dividido por 112. Luego se expresa como

aabb = (11 ´ n)2.

Y ahora dándole valores a n, descubrimos que la expresión se satisface para n = 8, siendo a = 7 y b = 4. Es decir, 882 = 7.744.

8 thoughts on “Mateadictos: buscando números cuadrados

  1. Diego Rodríguez

    Hola,
    a mi me ha servido como punto de partida buscar un número que responda a la siguiente fórmula:
    1000a + 100a + 10b + 1b

    Saludos

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  2. Diego Rodríguez

    Desarrollando la formula inicial
    1000a + 100a + 10b + b
    obtenemos que
    1100a + 11b
    que es lo mismo que decir
    11 * (100a + b)
    Así sabemos que el número que estamos buscando es múltiplo/divisible por 11.
    Ya no se seguir desarrollando a partir de aquí de manera matemática, pero teniendo en cuenta que el número que tenemos que obtener está entre 1000 y 9999 he cogido la “fuerza bruta” y he empezado a coger los números que son multiplos de 11:
    11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99;
    Los he multiplicado por ellos mismos hasta encontrar el bueno y… ¡bingo! el 88 da como resultado 7744.
    jejejeje, no es la mejor fórmula pero no he sido capaz de sacarlo de otra manera. Escucharé atento como Raúl lo obtiene de manera más científica 🙂

    Saludos

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  3. Jon Kortina

    x^2=aabb=1000a+100a+10b+b➡
    x^2=1100a+11b➡
    x^2=11*(100a+b)➡
    x^2/11=100a+b

    Como 100a+b es un número entero entonces x^2 tiene que ser divisible por 11 y como el conjunto de números cuyo cuadrado es de 4 cifras es del 32 al 99, el problema se reduce a 7 casos, obteniendo como resultado el 88 cuyo cuadrado es 7744

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