Mateadictos: problemas de ingenio para todos los gustos

Raul Ibáñez nos deja en esta ocasión varios problemas de ingenio: atención porque los dos últimos son los que cuentan para el próximo sorteo de libros de matemáticas.

Los problemas de ingenio son una parte importante de esta pequeña ventana que abrimos a las matemáticas cada quince días en La Mecánica del Caracol, por eso hoy vamos a dedicar estos minutos a comentar algunos de los típicos problemas de ingenio, que incluso hemos propuesto aquí en algún programa. Los problemas de ingenio nos acercan al pensamiento matemático y a la resolución de problemas, y no olvidemos el placer que se siente tanto mientras intentamos resolverlos, como al conseguir hacerlo.

 

imagesProblema 1 (Los tres interruptores): Un electricista está revisando tres interruptores (llamémosles A, B, C) de luz en la planta baja de un hotel, que encienden tres luces que están en la última planta, pero no sabe qué interruptor corresponde a cada luz. El electricista quiere averiguarlo, pero en esos momentos no hay nadie que le pueda ayudar y no quiere subir más de una vez (el ascensor está estropeado), ¿cómo puede hacerlo?

Solución. La solución es bastante sencilla. Se trata de idear algún método que nos permita diferenciar las tres luces, en relación a los interruptores de la planta baja. Para ello hay que utilizar toda la información que nos sea posible. A priori la información que tenemos es que si encendemos un interruptor se encenderá una luz, pero eso no es suficiente para resolver la cuestión. Pero podemos añadir más información útil, por ejemplo, que cuando una luz ha estado encendida unos minutos la bombilla está caliente y eso puede ayudarnos. Esos dos datos van a ser suficientes para encontrar ya la solución.

Enciende los interruptores A y B y espera unos minutos. Entonces, apaga el interruptor B y sube. Cuando llegue al último piso, la bombilla encendida se corresponde con el interruptor A, la apagada caliente con el B y la apagada fría con el C.

Problema 2 (el peso de las sandías): Cuando están frescas, las sandías son en un 99% agua. Acaban de llegar 100 kilos de sandías frescas a un mercado. Pasados unos días, las sandías se secan un poco y su contenido de agua pasa a ser del 98%. ¿Cuánto pesan las sandías?

Solución: Para resolver cualquier problema, lo primero que debemos de hacer es analizar el enunciado del problema, conocer bien la información que nos dan y tener claro que es lo que nos preguntan.

Por el enunciado del problema, sabemos que hay 100 kilos de sandía, pero como el 99% son agua… de esos 100 kilos, 99 son de agua y solo 1 kilo es sólido, que es el 1%.

Luego nos dicen que pasados unos días las sandías se han secado, han perdido agua, y el contenido de agua ha pasado a ser del 98%. Luego, nos están diciendo que ahora el contenido sólido, que sigue siendo de 1kilo, es del 2%. Eso nos permite conocer cuánto pesan ahora las sandías, ya que si 1kilo es el 2%, el 100% son 50 kilos.

Problema 3 (Un bidón de agua): Un bidón lleno de agua pesa 240 kilos. Cuando está lleno hasta la mitad pesa 130 kilos. ¿Cuánto pesa el bidón?

Solución: Hay quienes se ponen a resolver este problema utilizando el álgebra. Esta es una potente herramienta, aunque en este caso es un simple ejercicio de lectura y lógica.

Cuando nos dicen que el bidón lleno de agua pesa 240 kilos, pero que cuando está lleno hasta la mitad pesa 130 kilos, nos están diciendo que el peso que falta (240 – 130 = 110 kilos) es el peso de la mitad del agua del bidón, luego todo el agua pesa 220 kilos. Es decir, el bidón vacío pesa 20 kilos.

Problema 4 (La jungla de cristal): Este es un problema clásico, pero que desde que apareció en la tercera entrega de la serie de películas La jungla de cristal, solemos aprovechar el encanto que pueda tener el que apareciera en una película comercial.

En la película, el “súper malo” (interpretado por Jeremy Irons) ha colocado una bomba dentro de un maletín en un parque público. Los protagonistas, el Teniente John McLane (Bruce Willis) y su amigo de turno Zeus Carver (Samuel L. Jackson), tienen que desactivarla. Para lograrlo deben colocar exactamente 4 galones de agua sobre una balanza. Disponen para ello de dos garrafas vacías de 5 y 3 galones respectivamente, un estanque de agua donde llenar las garrafas y un tiempo de 5 minutos. ¿Cómo conseguirlo?

Solución: Este problema de ingenio se resuelve viendo las cantidades de galones de agua que se pueden conseguir con esas dos garrafas, de 3 y 5 galones. Por ejemplo, es fácil obtener 2 galones, solamente hay que llenar la garrafa de 5 galones y con ella llenar la garrafa de 3 galones, cuando esta esté llena en la otra garrafa habrá 2 galones de agua.

Pero, ¿se pueden conseguir los 4 galones? Veamos que una vez conseguidos 2 galones es fácil. Primero, pongamos esos 2 galones, que hemos obtenido, en la garrafa de 3 galones y llenemos la garrafa de 5 galones. Ahora, si con la garrafa de 5 galones llenamos la garrafa de 3 galones, que ya tenía 2, es decir, que realmente le hemos echado 1 galón, en la garrafa de 5 galones quedarán los 4 galones que buscábamos.

indizeaProblema 5 (la planta acuática): Este es otro de esos pequeños problemas clásicos. Aunque puede cambiar un poco la literatura del problema, por ejemplo, en ocasiones se plantea con bacterias, su enunciado es este: sobre la superficie de un lago hay una planta acuática de una sola hoja que cada día duplica su superficie. En 8 días cubrirá toda la superficie del agua. ¿Cuántos días tardaría en cubrir la misma superficie de agua la planta si tuviera dos hojas iguales?

Solución: Si una hoja duplica su superficie cada día y en 8 días ha cubierto toda la superficie del agua, entonces en 7 días ha cubierto la mitad de la superficie. Es decir, si hubiera dos hojas, cada una de ellas cubre la mitad de la superficie del agua en 7 días, por lo tanto, entre ambas han cubierto toda la superficie…  en 7 días.

Problema 6 (Uno de pesadas): Los problemas de pesadas son muy típico, veamos uno de ellos. Dice así: supongamos que tenemos una caja con ocho perlas del mismo color y tamaño. Siete de ellas tienen el mismo peso y una es más ligera. Si poseemos una balanza con dos platillos, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que tenemos que hacer para saber cuál de las perlas pesa menos? ¿puede hacerse sólo con dos pesadas?

Solución: Este es el típico que si no nos sugieren que se puede hacer en dos pesadas es probable que lo hubiésemos solucionado en más pesadas. Pero por supuesto que puede hacerse en dos pesadas.

Veamos cómo hacerlo…en una primera pesada, ponemos tres perlas en un platillo de la balanza y tres en el otro. Hay dos posibilidades. La primera es que pesen lo mismo, con lo cual la perla que pesa menos es una de las dos que no están en la pesa, por lo que en la segunda pesada ponemos una de ellas en cada platillo y la que pese menos esa es.

En la segunda opción tenemos que uno de los platillos con tres perlas pesa menos, luego ahí está la perla que pesa menos, entonces tomamos dos de esas dos perlas y ponemos una en cada platillo, con lo que si pesan lo mismo, la que pesa menos es la tercera y si no pesan lo mismo obtenemos cuál de ellas pesa menos.

 Y éste cuentan para nota ( las respuestas entran en el sorteo)

Problema (¿cómo repartir el tesoro?):

imagesUn grupo de estudiantes ha encontrado un tesoro y quieren repartirlo entre el mayor número de compañeros de manera que cada persona reciba la misma cantidad de tesoro. El tesoro consiste en 42 barras de platino, 70 barras de oro y 112 de plata. ¿Cuál es ese número máximo de estudiantes para repartir el tesoro?

Solución:

Para solucionar este problema lo que hay que hacer es ver de cuántas formas podemos dividir las barras de cada metal precioso en grupos con el mismo número de barras. Por ejemplo, 70 puede separarse en 35 grupos de dos barras, en 14 grupos de 5 barras, en 10 grupos de 7 barras, en 7 grupos de 10 barras, en 5 grupos de 14 barras, en 2 grupos de 35 barras o en un grupo de 70 barras. Esto es debido a que 70=7x5x2. Lo mismo habría que hacer con 42 y con 112, y ver cuáles son los números de grupos coincidentes y tomar el mayor. Teniendo en cuenta que 42=7x3x2 y 112=7x2x2x2x2, tenemos que el mayor número divisor coincidente es 14, luego se puede repartir el tesoro entre 14 personas.

4 thoughts on “Mateadictos: problemas de ingenio para todos los gustos

  1. Belén

    El máximo número de estudiantes para repartir el tesoro es 14 ya que este número ha de ser un divisor que tengan en común 42, 70 y 112 (para que todos reciban la misma cantidad de barras de cada metal), y además ese divisor ha de ser el más grande (nos piden que el número de estudiantes sea máximo).

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