Tejemos 9 monedas, pero una de ellas es defectuosa y pesa diferente de las demás. ¿Cómo averiguar cuál es la defectuosa si contamos para ello con una balanza de platillos con dos brazos iguales? (nota: se trata de hacerlo con el menor número de pesadas posibles)
Respuesta:
- A) Supongamos que tenemos solamente 3 monedas. ¿Cuántas pesadas necesitarÃamos? Podemos hacer tres grupos de una moneda y poner dos monedas en la balanza, una en cada brazo.
A1) Si pesan lo mismo, la defectuosa es la otra. Aunque no sabemos si pesa más o menos, para ello deberÃamos quitar una de la balanza y colocar la defectuosa, con lo que conoceremos si pesa más (si el brazo de la balanza en el que la colocamos va hacia abajo) o menos (si el brazo va hacia arriba) que la otra, luego que las otras dos, que son iguales.
A2) Si no pesan lo mismo, la defectuosa es una de las de la balanza. Para saber cuál es y si pesa más o menos se necesita realizar otra pesada. Quitemos, por ejemplo, la moneda que está en el brazo que pesa más, el que está hacia abajo, y coloquemos ahà la tercera moneda. Si ahora los brazos se equilibran, es que la moneda diferente es la que acabamos de quitar y pesa más, pero si no se equilibra, la moneda diferente es la del otro brazo y pesa menos.
Luego, con tres monedas, el número de pesadas que se necesita para conocer cual es la moneda defectuosa, y cual es su defecto, es dos.
- B) Consideremos ahora el caso de las 9 monedas, que es el problema original. Hacemos tres grupos de tres monedas y actuamos como antes, pero cada grupo de tres monedas como una unidad. De esta forma sabremos, con dos pesadas, cual es el grupo de tres monedas que es diferente y si pesa más, o menos, de forma que en ese grupo está la moneda defectuosa y sabemos ya si pesa más o menos que las otras. Ahora, con tres monedas, y conociendo si pesa más, o menos, que las otras, solo necesitamos una pesada para ver cual es, y en total tres pesadas. Se hacen tres grupos de una moneda, y se ponen dos monedas en la balanza, una en cada brazo, si pesan lo mismo la defectuosa es la otra, pero si no pesan lo mismo, como sabemos si la defectuosa pesa más o menos que las demás, esto nos permite saber cual de las dos que están en la balanza es la defectuosa.
Por lo tanto, con nueve monedas, el número de pesadas que se necesita para conocer cual es la moneda defectuosa, y cual es su defecto, es tres.
Además, hemos encontrado una solución general que nos sirve para grupos de monedas que sean múltiplos de 3, es decir, para 27 monedas (harÃamos tres grupos de 9 monedas) se necesitarÃan cuatro pesadas o para 81 monedas, cinco pesadas
Separas las bolas en 3 grupos de tres:
Se pesan dos grupos: Si pesan igual, la defectuosa está en el tercero.
Cogemos el tercer grupo y pesamos dos bolas una en cada lado. Si pesan igual la defectuosa es la tercera. Si pesan diferente, se cambia una por la tercera. Si pesan igual, la que se ha cambiado es la defectuosa, si no la que no se ha cambiado.
En caso en el que la primera pesada sea diferente, significa que el grupo de fuera tiene todas las bolas bien. Cambiamos uno de los grupos y si la pesada pesa lo mismo, el grupo en el que está la bola defectuosa es el cambiado, si no, es el no cambiado.
La diferencia con el primer caso es que ahora sabemos que la bola defectuosa pesa más o menos que las normales. Por ello, una vez identificado el grupo de 3 en el que está la bola, con una única pesada más sabremos qué bola es la defectuosa, precisamente porque sabemos si pesa más o menos.