las monedas de oro: un rico comerciante guarda en una habitación de su palacio una cierta cantidad de monedas de oro. El palacio está vigilado por tres guardianes. Una noche entra un ladrón y roba las monedas de oro. Sin embargo, al intentar salir del palacio se encuentra con uno de los guardianes, y para comprar su silencio (ya que de otra forma perderá sus monedas y su vida), le da la mitad de las monedas que tenía más y cuatro más. Al continuar su escapada del palacio se encuentra con el segundo guardián, al que también soborna con la mitad de las monedas que tiene y  cuatro monedas más. Cuando ya está a punto de salir se encuentra con el tercer guardián, a quien le entrega la mitad de las monedas que le habían quedado, más cuatro monedas. Si al ladrón unicamente le quedaron 6 monedas de oro, ¿cuántas había robado originalmente?

La solución de este problema se puede abordar desde dos puntos de vista distintos. Uno de ellos es plantear las ecuaciones algebraicas de las monedas que le van quedando hasta el final, y resolver la ecuación algebraica que queda.

La cuestión sería así. Sea x la cantidad de monedas de oro que robó el ladrón. El primer guardián se quedó con x/2 + 4 monedas, la mitad más 4, luego el ladrón continuó con x – (x/2 + 4) = x/2 – 4 monedas. El segundo guardián se llevó la mitad de esas más 4, es decir, (x/2 – 4)/2 – 4 = x/4 + 2, y al ladrón le quedaron, haciendo la correspondiente operación, x/4 – 6. Un argumento similar nos llevará a que tras encontrarse con el tercer guardián, al ladrón le quedaron x/8 – 7 monedas de oro, como sabemos que eran 6, entonces, la cantidad de monedas robadas era x = 104.

Otra forma de resolver este problema es ir de atrás hacia adelante, es decir, de las monedas que le quedaron hasta las que robó, añadiendo las que fue cediendo a los guardianes.

Salió del palacio con 6 monedas. Como al tercer guardián le dio la mitad de las que llevaba en ese momento más 4 (matemáticamente sería y/2 +4), le quedaron la mitad que llevaba menos 4  (matemáticamente sería y/2 – 4) entonces llevaba 2 (6 + 4) = 20 monedas de oro.

Justo antes, cuando se encontró con el segundo guardián, llevaba, por el mismo razonamiento anterior, 2 (20 + 4) = 48 monedas. Mientras que inicialmente, antes de encontrarse al primer guardián, estaba en posesión de 2 (48 + 4) = 104 monedas.

Comiendo manzanas: Cuatro amigas han comprado 11 manzanas, que se han ido comiendo mientras conversaban. Al terminar la conversación ya no queda ninguna manzana y todas han comido alguna.  Cada una de ellas sabe cuántas manzanas ha comido, pero no las que han comido el resto. Entonces, se produce el siguiente diálogo…

Aroa: ¿has comido más manzanas que yo, Bera?

Bera: No lo sé. ¿Has comido tú, Edurne, más manzanas que yo?

Edurne: No lo sé.

Ante lo que Irati exclama “¡Ajá!”, ya que ha caído en la cuenta de cuantas manzanas ha comido cada una. Asumiendo que nadie pregunta algo que ya sabe y que cada una piensa bien las respuestas de las anteriores, ¿cuántas manzanas ha comido cada una?

La solución a este problema es que Aroa ha comido 1 manzana, Bera 2, Edurne 3 e Irati 5. ¿Cómo hemos llegado a esta solución?

La cuestión es que las preguntas, y las respuestas, de las cuatro amigas nos dan una serie de informaciones que nos permiten  deducir cuántas manzanas ha comido cada una. Por ejemplo, Aroa le pregunta a Bera a ver si esta ha comido más manzanas que ella, por lo tanto, como hay 11 manzanas en total, eso quiere decir que Aroa no ha podido comer 5, o más, manzanas.

Posible número de manzanas que ha comido Aroa: {1, 2, 3, 4}

Pero resulta que Bera le contesta que no sabe, luego Bera no pudo comer 1 manzana, ya que en ese caso sí sabría la respuesta, es decir, que no comió más que Aroa. Pero tampoco puedo comer 5, o más, manzanas.

Posible número de manzanas que ha comido Bera: {2, 3, 4}

Edurne, al igual que nosotros, habrá deducido esto que acabamos de decir, pero no sabe si comió más que Bera, luego no pudo comer 2 manzanas.

Posible número de manzanas que ha comido Edurne: {3, 4}

Y con esta información Irati se da cuenta de cuántas manzanas ha comido cada una… teniendo en cuenta el número de manzanas que han podido comer Aroa, Bera y Edurne, estas han sido al menos 6 manzanas, entre las tres, luego Irati habrá comido como mucho 5 manzanas. Pero Irati solo puede estar segura de cuantas ha comido cada una si ella misma ha comido 5 manzanas, ya que, por ejemplo, si hubiese comido 4 manzanas, habría más de una posibilidad para el resto, como A(1)+B(2)+E(4) o A(2)+B(2)+E(3), y lo mismo para los casos en los que hubiese comido 1, 2 o 3 manzanas.

En consecuencia, Irati ha comido 5 manzanas, y sus amigas el mínimo de las que eran posibles, 1 Ane, 2 Bera y 3 Edurne.

 

El baile: En un baile que se celebró en casa de Ane, al que acudieron 20 amigos, entre chicos y chicas, Miren bailó con 7 chicos, Eider con 8, Haizea con 9. Así sucesivamente hasta llegar a Ane, que bailó con todos. ¿Cuántos jóvenes había en la fiesta?

La solución es bastante sencilla… solamente hay que ir contando …

1 chica (Miren) … 7 chicos… (en total serían 8, si solo hubiese 1 chica, pero son 20)

2 chicas (Eider)…  8 chicos (en total, 10)

3 chicas (Haizea)… 9 chicos (en total, 12)

…

n chicas (Ane)… 6 + n chicos (en total, 6 + 2n = 20)

Es decir, n = 7 chicas y 6 + 7 = 13 chicos.

Podemos hacerlo contando con los dedos de la mano. Vamos desplegando un dedo por cada chica y contando el número de chicos con los que baila cada nueva chica (1-7, 2-8, 3-9, 4-10, etc), y cuando el número de dedos más el número de chicos, que decimos en voz alta, sumen 20 hemos terminado (7 + 13 = 20).

Y un reto a resolver para participar en el sorteo de libros de matemáticas:

La multiplicación incógnita:  si las letras a, b, c, d y e representan cifras, distintas, de los números abcde y su invertido, edcba, que verifican abcde x 4 = edcba, ¿cuál es el valor de cada una de ellas?

Solución: Por supuesto, para resolver este sencillo juego se necesita utilizar las propiedades básicas de la multiplicación. Para empezar, como los dos números tienen la misma cantidad de dígitos, entonces la cifra a solo puede tomar los valores 1 y 2. Pero como al multiplicar 4 x e tiene que terminar en la cifra a, y es un par (ya que 4 lo es), entonces a = 2.
Como e es el primer dígito del resultado y el primero del multiplicador es a = 2, entonces los posibles valores de e son 8 y 9. Pero como acabamos de comentar 4 x e tiene que terminar en a = 2, entonces e = 8 (4 x 8 =32). Pero eso implica que cuando se multiplica 4 x b no puede haber llevadas, ya que 4 x (a,2) = (e, 8), entonces b solo puede tomar los valores 0 y 1, ya que el 2 ya está. Además, b no va a poder tomar el valor 0, ya que… al multiplicar 4 x e (e vale 8), nos llevamos 3 (impar), que sumadas al resultado de multiplicar 4 x d, que es par, no puede terminar en 0, que sería el segundo dígito del resultado edcba. Es decir, b = 1.
Entonces, puesto que b = 1, en el resultado, al hacer 4 x d + 3, este número debe terminar en 1, luego solo puede ser d = 2 o 7, pero 2 ya está, luego d = 7. Además, al hacer 4 x d(7) + 3 = 31, nos llevamos 3, que se añade a la multiplicación 4 x c, luego 4 x c + 3 debe terminar en c, es decir, c = 9.

La solución es, por lo tanto, 21978 x 4 = 87912.