Tres matrimonios (mixtos) suelen ir siempre juntos de viaje de vacaciones. En el último viaje entraron a una tienda para comprar algunos recuerdos. Cada uno de los 6 compró un solo objeto, pero compró tantos ejemplares de ese objeto como euros costaba el mismo. Al final se dio la curiosa circunstancia de que cada marido gastó 63 euros más que su mujer. El recuerdo de Enrique costó 23 euros más que el de Ana, y el de Iker 11 más que el de Izaskun. ¿Cuánto costó el recuerdo de Mikel? ¿Cuántos ejemplares compró Miren? ¿Qué pareja forma cada matrimonio?
 La solución de Raul:
Mikel (8 euros) + Izaskun (1 euro);
Iker (12) + Ana (9);
Enrique (32) + Miren (31).
Si llamamos x a los euros que costó un objeto comprado por uno de los maridos, entonces este gastó x2 euros – x ejemplares de un objeto que cuesta x euros- y si su esposa compró un objeto de y euros se gastó y2 euros. Como la diferencia es 63, entonces, x2 – y2 = 63. Teniendo en cuenta los productos notables, (x – y)(x + y) = 63. Teniendo en cuenta los divisores de 63 tenemos las siguientes posibilidades:
La diferencia de 23 euros se obtiene entre 32, que serÃa Enrique, y 9, que serÃa Ana, mientras que la de 11 se obtiene con 12 (Iker) y 1 (Izaskun). El único hombre que falta serÃa Mikel, 8 euros, y la única mujer Miren, 31 euros.
Y las parejas son como indica el cuadro: Mikel (8 euros) + Izaskun (1 euro); Iker (12) + Ana (9); Enrique (32) + Miren (31))
La solución de Gregorio Ugartemendia (que se lleva el premio de esta semana):
Que se compren tantos ejemplares como euros vale cada uno nos está diciendo que estamos buscando cuadrados de números de tal forma que N x N = L + 63
L L+63 Suma N
1 (1×1) +63 64 = 8 x 8
2 (2×2) +63 67
3 (3×3) +63 72
4 (4×4) +63 79
5 (5×5) +63 88
6 (6×6) +63 99
7 (7×7) +63 112
8 (8×8) +63 127
9 (9×9) +63 144 = 12×12
10 (10×10) +63 163
11 (11×11)+63 184
12 (12×12)+63 207
(…)
31 (31×31)+63=1024 = 32×32
L x L = N x N + 63 —> L = RAIZ(N x N + 63) ===> N=1,8,31
Por tanto, (8, 1), (12, 9) y (32, 31) (( (64,1), (144,81) y (1024,961) ))
El recuerdo de Enrique costó 23 más que el de Ana ===> 23+9=32 ===> Ana=== 9
El recuerdo de Iker costó 11 más que el de Izaskun ===> 11+1=12 ===> Izaskun === 1
Por tanto, (8, 1), (12, 9) y (32, 31)
Mikel, I Iker Ana E Miren
Como cada persona compra tantos ejemplares como euros cuesta el objeto, cada uno gasta un número cuadrado perfecto de euros.
El marido gasta 63 € más que su mujer, entonces si el marido gasta x^2 € y la mujer y^2 € tenemos que
x^2-y^2=63=3*3*7.
x^2-y^2=(x+y)*(x-y)
Como x e y son números enteros (el número de ejemplares que compran) las únicas soluciones son:
(x+y)(x-y)=63*1, entonces x=32 y=31
(x+y)(x-y)=21*3, entonces x=12 y=9
(x+y)(x-y)=9*7, entonces x=8 y =1.
Para que se cumplan las condiciones del enunciado, el recuerdo de Enrique cuesta 32 € y el de Ana 9 €, el de Iker 12 € y el de Izaskun 1 €.
Completando el resto:
El recuerdo de Mikel costó 8 €.
Miren compró 31 ejemplares.
La parejas son: Enrique-Miren, Iker-Ana, Mikel-Izaskun.
Llamamos X al número y precio objetos marido
Llamamos Y al número y precio objetos mujer
(X+Y)(X-Y)=63
Descomponiendo en factores:
63*1
21*3
9*7
Resolviendo: X+Y=63
X-Y=1 X=32; Y=31 y haciendo lo mismo con las otras dos opciones:
X=12; Y=9
X=8; Y=1
Para que al restar nos dé 23 y 11 las parejas serÃan:
Enrique y Miren…….32+31
Iker y Ana………………12+9
Mikel y Izaskun………8+1