En un torneo de pelota mano celebrado este fin de semana en Bilbao cada jugador que perdÃa un partido quedaba eliminado, además cada partido debÃa de jugarse con una pelota nueva. Si participaron 123 personas en el torneo, ¿cuántas pelotas se utilizaron?
Solución: Al finalizar el torneo solo hay una persona ganadora del mismo, luego 122 quedaron eliminadas, y ese es el número de pelotas utilizadas
Supongo que 122 pelotas ==> 61+31+15+8+4+2+1
Hay 7 rondas incluida la final, y hay tantas parejas como las que quedan después de cada eliminatoria
Consideremos que todos los partidos fueron mano a mano, es decir, que no hubo partidos de parejas.
Las 123 personas iniciales se pusieron en parejas para jugar, dando lugar a 122/2=61 partidos y, por tanto, a 61 personas eliminadas. De esta forma, a la siguiente ronda pasaron los 61 ganadores además de la persona que no jugó en la primera ronda, es decir, un total de 62 personas.
En esta segunda ronda, todos los jugadores se pudieron poner en parejas, dando lugar a 62/2=31 partidos. Por tanto, los 31 ganadores pasaron a la siguiente ronda.
En esta tercera ronda, 30 de los 31 jugadores se pudieron emparejar dando lugar a 30/2=15 partidos. Por tanto, a la siguiente ronda pasaron 15+1=16 personas.
La cuarta ronda, entonces, contó con 16/2=8 partidos y 8 ganadores que pasaron a la siguiente ronda.
En la quinta ronda, se jugaron 8/2=4 partidos.
En la sexta, 4/2=2 partidos.
Y en la última ronda, la gran final, sólo 2/2=1 partido.
Dado que se usó una nueva pelota en cada partido, basta con sumar el número de partidos para saber cuántas pelotas se usaron. El resultado es 61+31+15+8+4+2+1=122.
Se utilizaron 122 pelotas, tantas como jugadores quedaron eliminados.
La solución es 122 pelotas (123 – 1).
En cada partido se elimina un jugador y al final del torneo queda un ganador. Hay que jugar tantos partidos como jugadores menos uno (el ganador), para que todos estén eliminados. Y por tanto, tantas pelotas como jugadores menos uno.
En general, si hay n jugadores, se juegan n-1 partidos y se usan n-1 pelotas.
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