Mateadictos: el tapiz

Un artesano teje pequeños tapices cuadrados de dos colores, unos son grises y otros son blancos. Con ellos quiere fabricar un tapiz mayor de forma rectangular tal que colocando los cuadrados grises en el borde y los blancos en el interior necesite el mismo número de cuadrados grises y blancos. ¿Es esto posible? ¿De cuantas formas? [nota: el artesano lo ha intentado con un tapiz rectangular de 5 y 7 cuadrados de lado, pero ha descubierto que así utiliza 20 cuadrados grises y 15 blancos.

 

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4 thoughts on “Mateadictos: el tapiz

  1. JM

    Hay 2 soluciones, 5×12 y 6×8.
    Se parte de 2x+2(y-2)=(x-2)(y-2), despejando la x y dando valores enteros a la y superiores a 4.

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  2. Francisco Javier Rodríguez

    Hola,

    Plantenado las ecuaciones:
    nº cuadrados blancos = área del rectángulo interior = (a-2)(b-2)
    nº cuadrados grises = perímetro exterior = 2 (a+b-2)
    y que tienen que ser iguales sale
    a=(4b-8)/(b-4) (conocemos que a y b tienen que ser enteros y positivos)

    sólo aparecen las posibilidades siguientes:
    a=12 y b = 5
    a= 8 y b = 6
    a=6 y b = 8
    a =5 y b=12

    Un saludo,

    Un saludo,

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  3. ibai

    Si el rectángulo interior (blanco) tiene x e y cuadros de lado, es decir, está formado por xy parches, siendo x e y números naturales, entonces hay 2x+2y+4 parches grises alrededor. Queremos que ambas cantidades sean iguales, es decir,

    xy = 2(x+y+2)

    Como el lado derecho es múltiplo de 2, al menos uno de {x,y} debe ser par. Suponemos que x es par y escribimos x=2n, siendo n un número natural. Entonces, la ecuación anterior queda como

    ny = 2n+y+2

    y de aquí

    y = 2(n+1)/(n-1) = 2 + 4/(n-1)

    Como y ha de ser un número natural, n sólo puede tomar dos valores, 2 o 3. Si n=2, entonces y=6, x=4. Mientras que si n=3, entonces y=4, x=6. Vemos que ambas soluciones numéricas corresponden a una misma solución al problema (sólo difieren en una rotación del tapiz grande).

    Por tanto, el problema tiene una única solución, siendo ésta un tapiz de 6 y 8 cuadrados de lado con 24 cuadrados de cada color.

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  4. Ainhoa Landa

    2x+2y-4=(x-2)(y-2)
    y=4(x-2)/x-4)
    Es posible de dos formas:
    Un tapiz de 5 y 12 cuadrados de lado para lo que utilizaría 30 cuadrados de cada color y
    un tapiz de 6 y 8 cuadrados de lado para lo que utilizaría 24 cuadrados de cada color.

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