Un artesano teje pequeños tapices cuadrados de dos colores, unos son grises y otros son blancos. Con ellos quiere fabricar un tapiz mayor de forma rectangular tal que colocando los cuadrados grises en el borde y los blancos en el interior necesite el mismo número de cuadrados grises y blancos. ¿Es esto posible? ¿De cuantas formas? [nota: el artesano lo ha intentado con un tapiz rectangular de 5 y 7 cuadrados de lado, pero ha descubierto que asà utiliza 20 cuadrados grises y 15 blancos.
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Hay 2 soluciones, 5×12 y 6×8.
Se parte de 2x+2(y-2)=(x-2)(y-2), despejando la x y dando valores enteros a la y superiores a 4.
Hola,
Plantenado las ecuaciones:
nº cuadrados blancos = área del rectángulo interior = (a-2)(b-2)
nº cuadrados grises = perÃmetro exterior = 2 (a+b-2)
y que tienen que ser iguales sale
a=(4b-8)/(b-4) (conocemos que a y b tienen que ser enteros y positivos)
sólo aparecen las posibilidades siguientes:
a=12 y b = 5
a= 8 y b = 6
a=6 y b = 8
a =5 y b=12
Un saludo,
Un saludo,
Si el rectángulo interior (blanco) tiene x e y cuadros de lado, es decir, está formado por xy parches, siendo x e y números naturales, entonces hay 2x+2y+4 parches grises alrededor. Queremos que ambas cantidades sean iguales, es decir,
xy = 2(x+y+2)
Como el lado derecho es múltiplo de 2, al menos uno de {x,y} debe ser par. Suponemos que x es par y escribimos x=2n, siendo n un número natural. Entonces, la ecuación anterior queda como
ny = 2n+y+2
y de aquÃ
y = 2(n+1)/(n-1) = 2 + 4/(n-1)
Como y ha de ser un número natural, n sólo puede tomar dos valores, 2 o 3. Si n=2, entonces y=6, x=4. Mientras que si n=3, entonces y=4, x=6. Vemos que ambas soluciones numéricas corresponden a una misma solución al problema (sólo difieren en una rotación del tapiz grande).
Por tanto, el problema tiene una única solución, siendo ésta un tapiz de 6 y 8 cuadrados de lado con 24 cuadrados de cada color.
2x+2y-4=(x-2)(y-2)
y=4(x-2)/x-4)
Es posible de dos formas:
Un tapiz de 5 y 12 cuadrados de lado para lo que utilizarÃa 30 cuadrados de cada color y
un tapiz de 6 y 8 cuadrados de lado para lo que utilizarÃa 24 cuadrados de cada color.