La matemática Miren Andetxaga planteó el siguiente problema a sus estudiantes de matemáticas: si se escriben los números naturales seguidos, en su orden natural y empezando en el 1, es decir, 123456789101112… ¿cuál será la cifra que ocupa la posición 552.715 en esa lista?
Solución: Es la cifra 6. La clave para resolver este problema es conocer cuántos dÃgitos tienen los números cuando hemos llegado a la posición 552.715. Para ello, razonamos asÃ:
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A. Los números de un dÃgito, del 1 al 9, suman un total de 9 dÃgitos en la lista 123456789.
B. Los números de dos dÃgitos, del 10 al 99, suman un total de 2 x 90 = 180 dÃgitos.
C. Los de tres dÃgitos, del 100 al 999, suman un total de 3 x 900 = 2.700 dÃgitos.
D. Los de cuatro dÃgitos, del 1.000 al 9.999, suman un total de 4 x 9.000 = 36.000 dÃgitos.
E. Los de cinco dÃgitos, del 10.000 al 99.999, suman un total de 5 x 90.000 = 450.000 dÃgitos.
F. Los de seis dÃgitos, del 100.000 al 999.999, suman un total de 6 x 900.000 = 5.400.000 dÃgitos.
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Como el listado con todos los números con 1, 2, 3, 4 y 5 dÃgitos, tiene 9 + 180 + 2.700 + 36.000 + 450.000 = 488.889 dÃgitos, la cifra que está en la posición 552.715 pertenece a un número de 6 dÃgitos.
Más aún, restando 552.715 – 488.889 = 63.826, es decir, la cifra buscada está en la posición 63.826 dentro de los números con 6 dÃgitos. Ahora, dividiendo entre 6 para saber cuántos números de 6 dÃgitos hemos puesto para llegar a esa posición, tenemos que
63.826 = 10.637 x 6 + 4.
Es decir, la cifra buscada está en el número 10.638 de 6 dÃgitos, de hecho, es el cuarto dÃgito (el resto). Luego es el cuarto dÃgito del número 100.000 + 10.637 = 110.637, es decir, el 6. )
La cifra que ocupa la posición 552715 en la lista de números natueales es el 6.
Como hemos puesto todos los números naturales seguidos, la cifra de la posición 552715 estará contenida en un números natural, pero ¿en cuál? Responderemos a esta pregunta contando cuántos números naturales se han escrito hasta llegar a la posición deseada.
Para ello, nos fijamos en que hay 9 números naturales de 1 cifra, 99-9=90 números naturales de 2 cifras, 999-90-9=900 números naturales de 3 cifras, etc.
AsÃ, vemos que la primera cifra del 10 está en la posición 1+(1·9)=10, la primera cifra del 100 está en la posición 1+(1·9+2·90)=190, la primera cifra del 1000 está en la posición 1+(1·9+2·90+3·900)=2890, etc.
Como 552715=488890+63825 y como 488890=1+(1·9+2·90+3·900+4·9000+5·90000), deducimos que la primera cifra del 100000 está en la posición 488890 y que por tanto, la cifra en la posición 552715 está contenida en un número natural de 6 dÃgitos. De modo que debemos dividir el intervalo de 63825 posiciones que nos queda en intervalos de 6 dÃgitos. Vemos que 63825=6·10637+3, de modo que la primera cifra del número 100000+10637=110637 está en la posición 488890+6·10637=552712. Asà que la cifra en la posición 552715 es el cuarto dÃgito de 110637, es decir, el 6.