Mateadictos: Un problema difícil

La matemática Miren Andetxaga planteó el siguiente problema a sus estudiantes de matemáticas: si se escriben los números naturales seguidos, en su orden natural y empezando en el 1, es decir, 123456789101112… ¿cuál será la cifra que ocupa la posición 552.715 en esa lista?

Solución: Es la cifra 6. La clave para resolver este problema es conocer cuántos dígitos tienen los números cuando hemos llegado a la posición 552.715. Para ello, razonamos así:

 

A. Los números de un dígito, del 1 al 9, suman un total de 9 dígitos en la lista 123456789.

B. Los números de dos dígitos, del 10 al 99, suman un total de 2 x 90 = 180 dígitos.

C. Los de tres dígitos, del 100 al 999, suman un total de 3 x 900 = 2.700 dígitos.

D. Los de cuatro dígitos, del 1.000 al 9.999, suman un total de 4 x 9.000 = 36.000 dígitos.

E. Los de cinco dígitos, del 10.000 al 99.999, suman un total de 5 x 90.000 = 450.000 dígitos.

F. Los de seis dígitos, del 100.000 al 999.999, suman un total de 6 x 900.000 = 5.400.000 dígitos.

 

Como el listado con todos los números con 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, tiene 9 + 180 + 2.700 + 36.000 + 450.000 = 488.889 dígitos, la cifra que está en la posición 552.715 pertenece a un número de 6 dígitos.

Más aún, restando 552.715 – 488.889 = 63.826, es decir, la cifra buscada está en la posición 63.826 dentro de los números con 6 dígitos. Ahora, dividiendo entre 6 para saber cuántos números de 6 dígitos hemos puesto para llegar a esa posición, tenemos que

63.826 = 10.637 x 6 + 4.

Es decir, la cifra buscada está en el número 10.638 de 6 dígitos, de hecho, es el cuarto dígito (el resto). Luego es el cuarto dígito del número 100.000 + 10.637 = 110.637, es decir, el 6. )

2 thoughts on “Mateadictos: Un problema difícil

  1. Ibai

    Como hemos puesto todos los números naturales seguidos, la cifra de la posición 552715 estará contenida en un números natural, pero ¿en cuál? Responderemos a esta pregunta contando cuántos números naturales se han escrito hasta llegar a la posición deseada.

    Para ello, nos fijamos en que hay 9 números naturales de 1 cifra, 99-9=90 números naturales de 2 cifras, 999-90-9=900 números naturales de 3 cifras, etc.

    Así, vemos que la primera cifra del 10 está en la posición 1+(1·9)=10, la primera cifra del 100 está en la posición 1+(1·9+2·90)=190, la primera cifra del 1000 está en la posición 1+(1·9+2·90+3·900)=2890, etc.

    Como 552715=488890+63825 y como 488890=1+(1·9+2·90+3·900+4·9000+5·90000), deducimos que la primera cifra del 100000 está en la posición 488890 y que por tanto, la cifra en la posición 552715 está contenida en un número natural de 6 dígitos. De modo que debemos dividir el intervalo de 63825 posiciones que nos queda en intervalos de 6 dígitos. Vemos que 63825=6·10637+3, de modo que la primera cifra del número 100000+10637=110637 está en la posición 488890+6·10637=552712. Así que la cifra en la posición 552715 es el cuarto dígito de 110637, es decir, el 6.

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