Mateadictos: dos cuadrados formados con piedras

Disponemos de una cierta cantidad de piedras de forma que si las colocamos en filas formando el cuadrado (luego cada fila tendrá la misma cantidad de piedras que cada columna) más grande posible, nos sobrarán 146 piedras. Ahora, si quisiéramos añadir una fila y una columna más al cuadrado que tenemos formado necesitaríamos 31 piedras más. ¿Cuántas piedras tenemos?

(Aclaración: Pongamos un ejemplo. Si tenemos 12 piedras podemos formar un cuadrado con 3 piedras en cada fila y columna -3 x 3 = 9 piedras en total- luego nos sobran 3 piedras. Por lo tanto, necesitaríamos otras 4 piedras para formar un cuadrado con una fila y una columna más, es decir, 4 x 4 = 16)

 

Solución: 7.890 piedras. Si tenemos un cuadrado con n filas y n columnas –luego n2 piedras- y nos han sobrado 146, pero ahora necesitamos 31 piedras para formar un cuadrado con n + 1 filas y columnas, entonces hemos añadido al cuadrado inicial 2n + 1 piedras, de la fila y columna extras, teniendo en cuenta que comparten vértice, entonces 2 n + 1 = 146 + 31. Por lo tanto, n = 88 y la cantidad de piedras eran n2 + 146 = 7.890

 

9 thoughts on “Mateadictos: dos cuadrados formados con piedras

  1. Alfonso Tejedor

    Hola, antes de que se me pase, doy mi versión de la solución.
    Al necesitar 146+31 = 177 piedras para completar el siguiente cuadrado, significa que colocaríamos 178/2=89 piedras para rellenar la fila y la columna siguientes (se suma una piedra común tanto a la fila como a la columna)
    Así pues, tenemos 88×88+146 = 7890 piedras.
    A modo de comprobación, si añadimos 31 nos dan 7921, que es justamente el cuadrado de 89.
    Un saludo y gracias por estos entretenimientos

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  2. Ainhoa Landa

    Si n es el número de piedras del lado del cuadrado,
    n² + 146 = (n+1)² – 31
    n² + 146 = n² + 2n +1 -31
    146 – 1 + 31 = 2n
    2n = 176
    n = 88
    88² + 146 =7890
    Por tanto, tenemos 7890 piedras

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  3. Maite Galdós

    Si una fila se completa con ‘x’ piedras, para mantener el cuadrado hacen falta ‘x-1’ para la columna.
    Tenemos 146 sobrantes, y para un cuadrado de una fila y una columna más faltan 31. Así, con 146+31=177 conseguiríamos esa fila+columna=x+(x-1)=177 => x=89
    Como nos faltan 31; tenemos (89*89)-31=7890 PIEDRAS

    Saludos

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  4. Haritz

    -Cada vez que aumentamos el cuadrado, incrementamos en x(incremento anterior)+2.
    -Sumando las piezas que nos sobran desde el anterior cuadrado a las que nos faltarian para el siguiente, sabemos la diferncia entre los dos cuadrados. 146+31=177.
    -Al haber incrementado en dos cada aumento, si dividimos entre dos, la diferencia entre los dos cuadrados, sabemos la cantidad de veces que se ha incrementado. 177/2=88.5 Por lo que es la diferencia entre un cuadrado de 88 y el siguiente de 89.
    88×88=7744 (7744+177=7921)
    89×89=7921
    7744+146= 7890 / 7921-31= 7890
    – Tenemos 7890 piedras

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  5. Maitena

    Segun el enunciado tenemos un cuadrado de
    Y^2+146 piedras
    Y al aumentar en 1 el cuadrado tenemos que
    《Y+1》^2-31piedras
    Por tanto al igualar las ecuaciones
    Y^2+146=y^2+2y+1-31
    De modo que al resolver
    176=2y
    Y=88
    Por tanto el número de piedras podemos obtenerlo de cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales
    88^2+146=7744+146=7890
    7890 piedras

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  6. Ibai

    De los datos dados, sabemos que el número de piedras se puede escribir como
    n*n+146,
    o como
    (n+1)*(n+1)-31,
    donde n es un número entero. Igualando ambas expresiones y resolviendo la ecuación, obtenemos n=88, de modo que el número de piedras resulta ser 7890.

    Besarkada bat.

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  7. jose ignacio tellechea

    Hola. Mi respuesta. Teníamos 7890 piedras.
    Como sobran 146 piedras y nos harían falta otras 31 para completar una fila/columna, tenemos que necesitamos 177piedras. Dividimos entre 2 y nos dan 88,5 piedras😄 , o lo que es lo mismo, 88 piedras en fila y 89 en columna .(cuadrado de 89 piedras de lado)
    Luego el cuadrado completo anterior debe de tener 88 piedras de lado, esto es: 88×88=7744piedras..+ las 146 que sobraban….7890 piedras.
    Un saludo

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  8. Francisco Javier Rodríguez Nieto

    Tenemos un cuadrado de lado a, por tanto a^2 piedras. Y nos sobran 146 piedras.
    Si quisiéramos aumentar 1 piedra el lado del cuadrado, tendríamos a^2 +2a +1 piedras. Es decir, tendríamos que sumar 2a+1 piedras.
    Como tenemos 146 sobrantes y aún así nos hacen falta 31, tenemos que:
    2a+1 = 146+31
    entonces a = 88.
    Por tanto tenemos a^2 + 146 = 7890 piedras.

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