Si en la época en la que se utilizaban bolas como proyectiles para los cañones, éstas se hubiesen almacenado formando una pirámide de base cuadrada, con 15 bolas de cañón de lado en el cuadrado de la base, ¿cuantas bolas de cañón habría en la pirámide?
Solución:
En la base tenemos un cuadrado de 15 por 15 bolas, luego hay un total de 152 bolas. La anterior capa es un cuadrado de lado 14, luego con 142 bolas. La siguiente tiene 132 bolas, y así se continúa hasta las dos capas superiores, que tienen 22 = 4 bolas y 1 bola. En total hay por lo tanto, 12 + 22 + … + 142 + 152 bolas, la suma de los cuadrados de los 15 primeros números naturales. Esta cuenta se puede hacer con la calculadora o utilizar alguna de las fórmulas que permite calcularla, como la que explicamos en la entrada del Cuaderno de Cultura Científica, “matemáticas para ver y tocar”
Por tanto, 15 x 16 x 31 / 6 = 1.240 bolas)
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421 bolas de cañon hay en la pirámide
El número de bolas sería 1.240
15^2 + 14^2 + 13^2 + 12^2 + 11^2 + 10^2 + 9^2 + 8^2 + 7^2 + 6^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2 + 1
Si miramos la pirámide por niveles y si el lado de ese nivel tiene N bolas, sabemos que en esa altura tenemos N^2 bolas. Si subimos de nivel el lado respectivo tendrá N-1 bolas, luego en este nivel tenemos (N-1)^2 bolas, y así sucesivamente. Luego, en nuestro caso tenemos,
15^2 + 14^2 + ... + 1^2 = 1240 bolas de cañón.
15x15 + 14x14 + 13x13 +....+ 1x1 = 1.240 balas de cañón
Saludo
Quiero felicitarles por el programa, les sigo fielmente a través de Tunein Radio, los recomiendo siempre con mis amigos.
Actualmente estoy terminando mi segunda carrera profesional, esta vez como matemático, quisiera que si gano el concurso me pudieran obsequiar algún libro para el estudio de las matemáticas a nivel profesional.
La respuesta es la siguiente:
Si la base de la pirámide es cuadrada con lado de 15 bolas, tenemos ahí 15 x 15 bolas (15^2); en el segundo nivel cada bola se acomodará en el espacio que hay entre 2 bolas a cada lado, siendo así cabrá una bola menos por cada lado en el segundo nivel (14^2), y así sucesivamente hasta llegar al 1.
Así las cosas la pirámide contendrá 15^2 +14^2 + 13^2 +... + 1^2 bolas, es decir 1240 Bolas.
La pirámide tendrá una altura de 15 bolas.
¡Un saludo!
Somos un grupo de 4º de Primaria de Jado Ikastetxea, y este fin de semana hemos tenido que utilizar la lógica para tratar de dar solución al problema. En nuestra opinión y tras debatir en clase hemos consensuado que el número total de balas es de: 1240.
(15X15)+(14X14)+(13X13)+(12X12)+(11x11)+(10X10)+(9X9)+(8X8)+(7X7)+(6X6)+(5X5)+(4X4)+(3X3)+(2X2)+(1x1)=1240
No hemos sacado ninguna fórmula matemática pero nos hemos comido el coco.
Esperamos conseguir los libros
Un Saludo
La clase de 4º de Jado ikastetxea
A cada altura el cuadrado es de lado una bola menor. Hasta la cúspide que es una bola al cuadrado (1) Por tanto la solucion es la suma del cuadrado de los 15 primeros numeros naturales.
La solución es 1247
Teniendo en cuenta que al ser piezas esféricas, las distintas capas, tienen que ir encajadas en los vanos que deja la capa anterior, tenemos que cada una de ellas pierde una unidad en cada lateral respecto de la anterior, por lo que la pirámide quedará compuesta por tantas capas como unidades tenga cada lado de la base y cada capa estará formada por el cuadrado del número de bolas que tenga como lado.
Por tanto como la solución sería la suma de los cuadrados de 15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-y1 y que son 225-196-169-144-121-100-81-64-49-36-25-16-9-4 y 1 lo que da un total de 114 bolas