Archivo de la categoría: Ciencia popular

Mateadictos: la centena

Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas, de forma que éstas sólo podrán estar separadas por los signos + (suma), – (resta), ´ (multiplicación), : (división) y los paréntesis ( ). Por ejemplo, con nueve unos …

100 = 111 – 11 + 11 – 11.

¿Seríais capaces de hacerlo con otras cifras, del 2 al 9?

 

Mateadictos: Merienda con pan

Aitor, Asier y Aimar van juntos al monte. A la hora de la comida Aitor aporta los 5 panes que lleva, Asier sus tres panes y Aimar, que no lleva panes, les da a sus dos amigos los 8 euros que tiene para pagarles por la comida. ¿Cómo se deben repartir Aitor y Asier los 8 euros?

PD: ¿Alguien más piensa que Raul no se estira mucho con la merienda?
Solución:

7 euros para Aitor y 1 euro para Asier. Hemos de suponer que los tres se comieron la misma cantidad de pan, por lo que hay que tener en cuenta que los que aportaron pan también comieron parte de su propio pan y aportaron el resto. Como eran 8 panes, cada uno comió 8/3 de pan. Por lo que Aitor aportó 5 – 8/3 = 7/3 de pan, mientras que Asier 3 – 8/3 = 1/3, es decir, Aitor aportó 7 veces 1/3 de pan, y Asier una vez 1/3 de pan. En consecuencia, los 8 euros que aportó Aimar se deben de repartir en la misma proporción, es decir, 7 euros para Aitor y 1 euro para Asier)

Mateadictos: el tapiz

Un artesano teje pequeños tapices cuadrados de dos colores, unos son grises y otros son blancos. Con ellos quiere fabricar un tapiz mayor de forma rectangular tal que colocando los cuadrados grises en el borde y los blancos en el interior necesite el mismo número de cuadrados grises y blancos. ¿Es esto posible? ¿De cuantas formas? [nota: el artesano lo ha intentado con un tapiz rectangular de 5 y 7 cuadrados de lado, pero ha descubierto que así utiliza 20 cuadrados grises y 15 blancos.

 

Si conoces la solución, escribe un correo electrónico a lamecanicadelcaracol@eitb.eus o deja un comentario en esta entrada y participarás en el sorteo de libros de matemáticas.

Mateadictos: un millardo

En esta ocasión hay que buscar dos números naturales, que no contengan ceros, cuya multiplicación sea un millardo, es decir, 1.000.000.000 (mil millones).

Solución:

Si descomponemos el número mil millones en sus factores primos, claramente está compuesto de doses y cincos. Como 10 es igual a 2 por 5, claramente mil millones es 2 elevado a la 9 multiplicado por 5 a la 9. Para que no se produzcan ceros, multiplicamos los 5 entre sí y los 2 entre sí, luego los dos números buscados son 512 (2 elevado a 9) y 1.953.125 (5 elevado a 9)

Juegos matemáticos para el confinamiento

necesitamos el siguiente material: una hoja de papel normal, por ejemplo, din A4, un lápiz y una regla. Y los pasos para construir nuestra hoja de cuatro caras son:

1. Tomamos la hoja de papel, que colocamos con el lado largo en horizontal, y lo vamos a dividir –por delante y por detrás- en cuatro columnas y tres filas, utilizando líneas trazadas con un lápiz.  Generando de esta forma 4 x 3 = 12 casillas rectangulares en cada lado.

2. En cada una de las casillas vamos a pintar, centrado, un número. En las 12 casillas de la parte delantera pintamos los números 4, 4, 3, 2 (en la primera fila, la de arriba), luego 2, 3, 4, 4 (en la segunda fila, en medio) y 4, 4, 3, 2 (en la tercera). Ahora en las casillas de la parte trasera pintamos los números 1, 1, 2 y 3 (arriba), 3, 2, 1, 1 (en medio), 1, 1, 2, 3 (abajo). Ojo, aquí quien lo desee puede echarle imaginación y pintar unos números chulos.

3. Ahora tenemos que realizar un pequeño corte con unas tijeras, por lo tanto, tened cuidado, podéis pedir ayuda a una persona mayor. Pero antes, doblad por las líneas rectas que habéis pintado a lápiz, os ayudará a realizar el corte y es necesario para la parte final.

Pero vayamos con el corte… poned la hoja con la parte de delante, la primera, la que tiene solo doses, treses y cuatros… vamos a cortar el papel para separar las dos casillas del centro –con los números 3 y 4- del resto, pero por todos los lados, salvo uno, el derecho –donde se unen los dos cuatros.

Es decir, cortaremos los lados de arriba de las casillas centrales, 3 y 4, el lado izquierdo de la casilla del 3 y los lados de debajo de esas dos casillas centrales. De esta forma, estas dos casillas, 3 y 4, que están unidad entre sí, solo están unidas al resto por el lado derecho, el lado entre los dos cuatros.

4. A continuación, vamos a realizar unos cuantos dobleces para generar nuestra nueva hoja de papel, que tendrá 2 x 3 = 6 casillas.

Primero, doblamos esa parte central, de dos casillas, hacia la derecha, de forma que va a quedar un 2 hacia arriba, donde estaba el 4, y el 1 que lo acompaña quedará por debajo de la hoja.

Después, doblamos la columna 4, 2, 4 hacia la derecha, una vez, y después toda la nueva columna (sobre la que ahora vemos los números 3, 1, 3) de nuevo hacia la derecha.

Nos quedará una hoja de papel con 2 x 3 = 6 casillas, con un 2 en todas las casillas.

5. Si le dais la vuelta a la nueva hoja de 6 casillas, tendréis una hoja de papel con un 1 en todas las casillas. Estamos entonces en el último paso. Hay que poner un poco de celo uniendo los dos unos de la fila del centro, el de la izquierda con el de la derecha.

Y ya tenéis la hoja de papel con cuatro caras. Veámoslo. En la que tenemos delante solo hay unos (1), le damos la vuelta y solo hay doses (2), luego dos caras. Ahora, con los doses mirando hacia nosotros, doblaremos la hoja por la mitad vertical, llevando las dos mitades hacia atrás, y cuando lleguemos a juntar las dos partes veremos que se nos abre la hoja por el medio, la ayudamos a abrirse con nuestros dedos y veremos que la hoja que tenemos delante tiene todos treses (3). Si volvemos a doblar la hoja por la mitad vertical, hacia atrás, descubriremos una nueva cara con todos cuatros (4). Es decir, tenemos cuatro caras …

juegos de ingenio

El salario: La última semana he ganado 250 euros, incluyendo el pago por horas extraordinarias. El sueldo asciende a 200 euros más que lo recibido por horas extraordinarias. ¿Cuál es mi salario sin las horas extraordinarias?

Este es el típico problema que, si se lee rápidamente, uno contesta 200 euros. Sin embargo, el problema necesita ser bien leído, bien entendido y quizás utilizar una notación adecuada. Para empezar si la respuesta fuese 200 y lo recibido por horas extraordinarias 50, tendríamos que el salario es 150 euros más que lo recibido por horas extraordinarias (y no 200).

Si denotamos por x lo recibido por horas extraordinarias, entonces 200 + x es el salario semanal y (200 + x) + x=250, es decir, x = 25 y el salario semanal 225. (No hace falta utilizar la x, pero así es más sencillo).

El barril de cerveza: Un tabernero tiene 5 barriles de vino y uno de cerveza. Vende una determinada cantidad de vino a un cliente, y el doble de esa cantidad a otro, tras lo cual se queda sin vino. Sabiendo que el vino lo vende por litros enteros, y que las capacidades de los barriles son 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros respectivamente, ¿Cuántos litros de cerveza tiene el tabernero?

(Solución: ¿Cómo resolver este problema? Como siempre primero leerlo bien y ver qué información nos da … nos dice que “vende una cantidad de vino a un cliente y el doble a otro” y se queda sin vino, luego la cantidad de vino es múltiplo de 3. Ahora con las capacidades de los barriles -15, 16, 18, 19, 20 y 31- veamos cómo obtenemos una suma múltiplo de 3 sumando 5 de las anteriores cantidades… y esto se consigue con 15 + 16 + 18 + 19 + 31 = 99. Es decir, la solución es que el tabernero tiene 20 litros de cerveza)

Estadística: Supongamos que una estadística sobre la población masculina de una ciudad dice que el 70 % de los hombres son feos, el 70 % de los hombres son tontos y el 70 % de los hombres son malos. ¿Cuál es, como mínimo, el porcentaje de hombres feos, tontos y malos?

(Solución: Veamos que la solución es que el mínimo porcentaje de hombres que podemos asegurar que son a la vez feos, tontos y malos es el 10 %. Una posible forma de resolver puede ser la siguiente: veamos las características, pero al revés, es decir, 3 de cada 10 hombres no son feos, 3 de cada 10 no son tontos y 3 de cada 10 no son malos. Luego, en el caso de que no coincidan esos hombres, los que no son feos, no son tontos y no son malos, habrá 9 hombres –de cada 10- que no tienen alguna de las características, es decir, existe un mínimo de un hombre que sí tiene las tres características. En el lenguaje del problema, el mínimo porcentaje de hombres que podemos asegurar que son a la vez feos, tontos y malos es el 10 %)

Pueden plantearse otras estrategias, esta es simplemente una que se nos ha ocurrido. Otra podría ser… supongamos que las 10 personas las identificamos con 10 cajas y las características son fichas. 7 fichas “feos”, 7 fichas “tontos” y 7 fichas “malos”, en total 21 fichas a distribuir en 10 cajas, luego hay un mínimo de una caja en la que hay tres fichas (…). Es decir, al menos 1 de cada 10 hombres es feo, tonto, malo.

Estos son tres ejemplos de los típicos problemas de ingenio que ponemos en este programa y cómo resolverlo. Pero ojo, habíamos dejado un problema planteado en el último programa…

Problema (La sucesión que se multiplica): ¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 6, 24, 60, 120, 210, 336,… y por qué?

Solución: En el título nos daban una sugerencia, algo relacionado con la multiplicación, … ahí tenemos muchas formas de abordarlo y muchas de ellas erróneas, … la cuestión es que en algún momento escribamos estos números en su descomposición factorial o como producto de números… 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 2 x 3 x 4, 60 = 3 x 4 x 5, 120 = 4 x 5 x 6, 210 = 5 x 6 x 7, 336 = 6 x 7 x 8, luego el siguiente es 7 x 8 x 9 = 504

Problema (¿cómo repartir el tesoro?): Un grupo de estudiantes ha encontrado un tesoro y quieren repartirlo entre el mayor número de compañeros de manera que cada persona reciba la misma cantidad de tesoro. El tesoro consiste en 42 barras de platino, 70 barras de oro y 112 de plata. ¿Cuál es ese número máximo de estudiantes para repartir el tesoro?

Solución:
14 personas. Para solucionar este problema lo que hay que hacer es ver de
cuántas formas podemos dividir el conjunto de barras de cada metal precioso en
grupos con el mismo número de barras. Por ejemplo, 70 puede separarse en 35
grupos de dos barras, en 14 grupos de 5 barras, en 10 grupos de 7 barras, en 7
grupos de 10 barras, en 5 grupos de 14 barras, en 2 grupos de 35 barras o en un
grupo de 70 barras. Esto es debido a que 70=7x5x2. Lo mismo habría que hacer
con 42 y con 112, y ver cuáles son los números de grupos coincidentes y tomar
el mayor. Teniendo en cuenta que 42=7x3x2 y 112=7x2x2x2x2, tenemos que el mayor
número divisor coincidente es 14, luego se puede repartir el tesoro entre 14
personas.

Mateadictos: Una sucesión que se multiplica

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 6, 24, 60, 120, 210, 336, … y por qué?

En el título nos daban una sugerencia, algo relacionado con la multiplicación, … ahí tenemos muchas formas de abordarlo y muchas de ellas erróneas, … la cuestión es que en algún momento escribamos estos números en su descomposición factorial o como producto de números… 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 2 x 3 x 4, 60 = 3 x 4 x 5, 120 = 4 x 5 x 6, 210 = 5 x 6 x 7, 336 = 6 x 7 x 8, luego el siguiente es 7 x 8 x 9 = 504)

Mateadictos: múltiplos de 14

 

¿Cuál es la suma de todos los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000?

(Nota: puede obtenerse una fórmula, similar a la de la anécdota de Gauss en la escuela, de la suma de los n primeros números)

 

Solución: 35.392. Los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000 son 112, 126, 140, …, 980, 994, que son 14 x 8, 14 x 9, 14 x 10, … , 14 x 70, 14 x 71. La suma es por tanto igual a 14 multiplicado por la suma de los números consecutivos, entre 8 y 71, 8 + 9 + 10 + … + 70 + 71. Esta suma, teniendo en cuenta que la suma de los simétricos respecto al centro siempre es 79 = 8 + 71 = 9 + 70 =…, es igual a [8 + 71] x [71 – 8 + 1] / 2 = 2.528. Ahora, si lo multiplicamos por 14, obtenemos 35.392

 

Mateadictos: Recogiendo cubos

 

Hay un montón de cubos en el suelo de una habitación, por ejemplo, 24 cubos, que hay que colocar formando una única torre vertical. ¿Cuál será la mejor estrategia para hacerlo? ¿Apilarlos de uno en uno, o quizás hacer primero dos grupos de 12, y después juntarlos, o hacer torres de cuatro cubos y luego juntarlas? … ¿Cuál será la mejor estrategia?

Solución:

Da igual cómo lo hagamos, siempre se necesitan 23 movimientos para apilar todos los cubos, puesto que en cada movimiento que hagamos, da igual cual sea este, se reduce en un montón el número de montones existentes)

 

Mateadictos: Las edades

Las edades de mi hermana y la mía están representadas por las dos mismas cifras, pero colocadas en orden opuesto. Yo soy el mayor y la suma de nuestras edades es once veces la resta de las mismas. ¿Cuáles son las edades de mi hermana y la mía?

Solución:

Mi edad es 54 y la de mi hermana 45. Si mi edad es ab, es decir, (a x10 + b), la edad de mi hermana es ba, esto es, (b x10 + a). Por lo tanto, la suma es 11x(a  + b), la resta 9x(a – b) y la hipótesis del problema nos dice que 11x(a  + b) = 11x9x(a – b). Luego, a + b = 9 y a – b =1, o sea, a = 5 y b = 4.