Archivo de la categoría: Ciencia popular

Mateadictos: un problema de cuadrados mágicos

Recordemos que un cuadrado mágico de orden 3 es una distribución de los primeros 9 números, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sobre las casillas de un cuadrado 3 x 3, de forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea siempre la misma, como en el cuadrado.


Si admitimos la posibilidad de que esté formado por otros números distintos, ¿cuáles son los números que faltan en el siguiente cuadrado mágico?


Mateadictos: Un problema de multiplicaciones

Consideremos la siguiente multiplicación, en la que cada letra representa una cifra básica distinta, AB.CDExF=GGG.GGG. ¿Cuál es el valor de cada una de las letras?

Solución: 95.238 x 7 = 666.666

Para empezar, observemos que GGG.GGG = G x 111.111 = G x 3 x 7 x 11 x 13 x 37, que es igual a AB.CDE x F, luego como F divide a G x 3 x 7. Y ahora estudiemos los casos posibles para F.

 

A) Si F divide a G, entonces G = Z x F, para algún Z, y considerando esto en la igualdad del problema, AB.CDE x F = GGG.GGG, se tiene que AB.CDE = Z x 111.111 = ZZZ.ZZZ, que no puede ser. Lo cual elimina los casos F = 0, 1, 2, 4, 5, 8, ya que en esos casos F debe dividir a G.

 

B) Si F = 3, entonces AB.CDE = G x 37.037. Si multiplicamos 37.037 por 0, 1 o 2 se repetirían dígitos, pero los dígitos de AB.CDE son distintos, y si G es mayor que 2 el número de dígitos del producto es seis, luego no puede ser.

 

C) Si F = 6, entonces AB.CDE x 2 = G x 37.037, G sería múltiplo de 2 y AB.CDE = (G/2) x 37.037, luego no es posible.

 

D) Si F = 9, tenemos algo parecido, ya que AB.CDE = (G/3) x 37.037.

 

E) Si F = 7, entonces AB.CDE = G x 15.873; y todos los dígitos de este número son distintos. Ahora se trataría de dar valores a G, entre 1 y 9, y estudiar las posibles soluciones. Por ejemplo, G no puede ser 1 ya que entonces AB.CDE = 15.873 y coincidirían G = A = 1; G no puede ser 5 ya que E sería también 5; o G no puede ser 7, puesto que lo es F; por otra parte, G no puede ser 8 o 9, ya que G x 15.873 tendría 6 dígitos.  Y si miramos el resto de opcines…

 

F = 7, G = 2, AB.CDE = 31.746 (se repite 7)

F = 7, G = 3, AB.CDE = 47.619 (se repite 7)

F = 7, G = 4, AB.CDE = 63.492 (se repite 4)

F = 7, G = 6, AB.CDE = 95.238 (solución!!)

)

 

Mateadictos: el rompecabezas

Este rompecabezas consta de ocho fichas, cuatro negras y cuatro blancas, que se colocan en línea y con los colores alternos, negro, blanco, negro, blanco, etc (como en la imagen). El juego consiste en disponerlas, utilizando solo cuatro movimientos, de forma que queden juntas cuatro de un mismo color, seguidas de las cuatro del otro color. Cada movimiento consiste en tomar dos fichas contiguas y juntas y sin alterar su orden colocarlas en algún lugar de la fila que quede libre, incluidos los extremos de la fila.


Mateadictos: el número de 5 cifras

El problema consiste en adivinar un número de cinco dígitos sabiendo que exactamente un dígito de cada uno de los diez números, de cinco dígitos, que aparecen a continuación está en la misma posición que en el número oculto. ¿Cuál es ese número?

 

01265, 12171, 23257, 34548, 45970, 56236, 67324, 78084, 89872, 99414

 

Solución: 30274.

Teniendo en cuenta que hay diez números, por la hipótesis del problema habrá exactamente diez dígitos que están correctamente posicionados. Pero resulta que en la posición del primer dígito están las diez cifras, del 0 al 9, luego solo una de ellas es la correcta. En consecuencia, en las cuatro últimas posiciones de los diez números hay exactamente nueve dígitos que están correctamente posicionados. En la segunda posición solo el 9 aparece más de una vez, exactamente dos veces, en la tercera posición solo el 2, que aparece tres veces, en la cuarta solo el 7, que aparece tres veces, y en la quinta solo en 4, que aparece tres veces. Como el total debe de sumar nueve dígitos que coinciden, solo hay cuatro opciones para esas cuatro posiciones: a) 9 ? 7 4; b) 9 2 ? 4; c) 9 2 7 ?; d) ? 2 7 4. Las dos primeras no pueden ser ya que el último número tendría, al menos, dos dígitos en posición correcta, la tercera tampoco, por lo mismo, pero para el anteúltimo número, luego debe de ser ? 2 7 4, esto obliga a que en la segunda posición, la del ?,  no haya ninguna coincidencia, ya que 274 ya suman las nueve coincidencias, luego es un número que no aparece, el 0. Y para el primer dígito solo hay una opción, el 3

Mateadictos: otro problema de pesadas


Imaginemos que tenemos 8 bolas metálicas, idénticas en apariencia y tal que todas pesan lo mismo menos una, que pesa 10 gramos menos. Si contamos con una balanza de dos platos, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que necesitamos para averiguar cuál es la bola menos pesada? ¿y cómo hacerlo?

 

Solución: Dos pesadas. En la primera, ponemos tres bolas en cada uno de los platos de la balanza, dejando dos bolas fuera de la pesada. Aquí hay dos opciones:

a) que pesen lo mismo (o lo que es lo mismo, los dos platos están a la misma altura), luego ahí no está la bola que pesa menos y se quitan esas bolas, para poner las otras dos, una en cada plato, de forma que la bola que pesa menos será aquella que queda más arriba;

b) si en la primera pesada no pesan lo mismo, la bola menos pesada estará en el plato que queda más arriba, por lo que nos quedamos con esas tres bolas, y en la segunda pesada ponemos una en cada plato de la balanza, quedando una fuera, y obtendremos la bola que pesa menos… si las balanzas están equilibradas, es la bola que quedó fuera, y si no están equilibradas, entonces la que pese menos de las dos, la del plato más arriba)

 

Mateadictos: El cuaderno de Kepa

Kepa compró un cuaderno que tenía 96 hojas y las enumeró del 1 al 192. Después de utilizar el cuaderno durante varios días, arrancó 25 hojas en las que había escrito cosas que no deseaba guardar. Como diversión, sumó los 50 números de páginas de esas hojas arrancadas del cuaderno. ¿Es posible que la suma fuese igual a 1990?

 

 

La respuesta es negativa. No sabemos las hojas que había arrancado, pero cada hoja tiene en una cara un número impar y en la otra uno par –el siguiente- por lo que la suma de los números de cada hoja es impar. Por lo tanto, la suma de los 25 números impares distintos es impar, luego no puede ser 1990

Mateadictos: las sandalias

En una pequeña ciudad con 20.000 habitantes, en la que el único calzado utilizado son las sandalias, el 5% de las personas que viven en la ciudad solo tiene una pierna, mientras que la mitad del resto van siempre descalzas. ¿Cuántas sandalias son usadas en la ciudad en un momento cualquiera del día (entendiendo que todos los que suelen ir calzados van calzados)?

Solución:

20.000 sandalias. Hay tantas sandalias como personas. Las personas con una sola pierna visten una sandalia y el resto como hay la misma cantidad de personas que van descalzas y las que van calzadas con dos sandalias, entre cada dos personas, una de cada grupo, visten dos sandalias

Mateadictos: Un cuadrado mágico 4×4

Rellenar los huecos que faltan en el siguiente cuadrado 4 ´ 4 para que forme un cuadrado mágico de orden 4, cuya constante es 34.

Recordemos que un cuadrado mágico de orden n (en este caso 4), es una distribución de los primeros n2 números (para orden 4, los 16 primeros números, del 1 al 16), sobre las casillas de un cuadrado n x n, (en nuestro caso particular un cuadrado 4 x 4), de forma que la suma de cada fila, cada columna y las dos diagonales sea siempre la misma, en este caso 34

solución:

Mateadictos: La bodega

La semana pasada un grupo de personas compramos a una bodega seis barriles de vino, de diferentes volúmenes, en concreto, 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros. Un barril era de vino rosado, y los demás eran de vino blanco y tinto, siendo la cantidad de litros de vino tinto el doble que la de blanco. ¿Cuál era el barril de vino rosado? ¿Cuántos libros había de vino blanco y tinto?

Solución:

El barril de vino rosado era el de 20 litros, los de vino blanco los de 15 y 18 litros y los de vino tinto los de 16, 19 y 31 litros)

 

Mateadictos: El número capicúa de Juan Diego Sánchez

Sea un número capicúa de 5 cifras, tal que la suma de sus cifras es igual a 39. Además, la cifra de las unidades es mayor que la de las decenas, y la cifra central es la mayor de todas. ¿Cuál es el número?

Solución: El número 87.978. Consideremos que nuestro número capicúa es ABCBA. Sabemos por las condiciones del problema que C > A > B y que A + B + C + B + A = 2A + 2B + C = 39.

Por la desigualdad C > A > B, como no hay cifras mayores que 9, se tiene que A no puede ser 9, ni B puede ser 8 o 9. Además, B no puede ser menor que 7, ya que en ese caso el valor máximo posible de B sería 6, luego de 2B sería 12, y como los valores máximos de A es 8 y de C 9, entonces el valor máximo posible de 2A + 2B + C sería 16 + 12 + 9 = 37, pero debería ser 39.

Por lo tanto, B = 7. De donde se deduce que A = 8 y C = 9.)