Archivo de la categoría: Ciencia popular

Mateadictos: el tapiz

Un artesano teje pequeños tapices cuadrados de dos colores, unos son grises y otros son blancos. Con ellos quiere fabricar un tapiz mayor de forma rectangular tal que colocando los cuadrados grises en el borde y los blancos en el interior necesite el mismo número de cuadrados grises y blancos. ¿Es esto posible? ¿De cuantas formas? [nota: el artesano lo ha intentado con un tapiz rectangular de 5 y 7 cuadrados de lado, pero ha descubierto que así utiliza 20 cuadrados grises y 15 blancos.

 

Si conoces la solución, escribe un correo electrónico a lamecanicadelcaracol@eitb.eus o deja un comentario en esta entrada y participarás en el sorteo de libros de matemáticas.

Mateadictos: un millardo

En esta ocasión hay que buscar dos números naturales, que no contengan ceros, cuya multiplicación sea un millardo, es decir, 1.000.000.000 (mil millones).

Solución:

Si descomponemos el número mil millones en sus factores primos, claramente está compuesto de doses y cincos. Como 10 es igual a 2 por 5, claramente mil millones es 2 elevado a la 9 multiplicado por 5 a la 9. Para que no se produzcan ceros, multiplicamos los 5 entre sí y los 2 entre sí, luego los dos números buscados son 512 (2 elevado a 9) y 1.953.125 (5 elevado a 9)

Juegos matemáticos para el confinamiento

necesitamos el siguiente material: una hoja de papel normal, por ejemplo, din A4, un lápiz y una regla. Y los pasos para construir nuestra hoja de cuatro caras son:

1. Tomamos la hoja de papel, que colocamos con el lado largo en horizontal, y lo vamos a dividir –por delante y por detrás- en cuatro columnas y tres filas, utilizando líneas trazadas con un lápiz.  Generando de esta forma 4 x 3 = 12 casillas rectangulares en cada lado.

2. En cada una de las casillas vamos a pintar, centrado, un número. En las 12 casillas de la parte delantera pintamos los números 4, 4, 3, 2 (en la primera fila, la de arriba), luego 2, 3, 4, 4 (en la segunda fila, en medio) y 4, 4, 3, 2 (en la tercera). Ahora en las casillas de la parte trasera pintamos los números 1, 1, 2 y 3 (arriba), 3, 2, 1, 1 (en medio), 1, 1, 2, 3 (abajo). Ojo, aquí quien lo desee puede echarle imaginación y pintar unos números chulos.

3. Ahora tenemos que realizar un pequeño corte con unas tijeras, por lo tanto, tened cuidado, podéis pedir ayuda a una persona mayor. Pero antes, doblad por las líneas rectas que habéis pintado a lápiz, os ayudará a realizar el corte y es necesario para la parte final.

Pero vayamos con el corte… poned la hoja con la parte de delante, la primera, la que tiene solo doses, treses y cuatros… vamos a cortar el papel para separar las dos casillas del centro –con los números 3 y 4- del resto, pero por todos los lados, salvo uno, el derecho –donde se unen los dos cuatros.

Es decir, cortaremos los lados de arriba de las casillas centrales, 3 y 4, el lado izquierdo de la casilla del 3 y los lados de debajo de esas dos casillas centrales. De esta forma, estas dos casillas, 3 y 4, que están unidad entre sí, solo están unidas al resto por el lado derecho, el lado entre los dos cuatros.

4. A continuación, vamos a realizar unos cuantos dobleces para generar nuestra nueva hoja de papel, que tendrá 2 x 3 = 6 casillas.

Primero, doblamos esa parte central, de dos casillas, hacia la derecha, de forma que va a quedar un 2 hacia arriba, donde estaba el 4, y el 1 que lo acompaña quedará por debajo de la hoja.

Después, doblamos la columna 4, 2, 4 hacia la derecha, una vez, y después toda la nueva columna (sobre la que ahora vemos los números 3, 1, 3) de nuevo hacia la derecha.

Nos quedará una hoja de papel con 2 x 3 = 6 casillas, con un 2 en todas las casillas.

5. Si le dais la vuelta a la nueva hoja de 6 casillas, tendréis una hoja de papel con un 1 en todas las casillas. Estamos entonces en el último paso. Hay que poner un poco de celo uniendo los dos unos de la fila del centro, el de la izquierda con el de la derecha.

Y ya tenéis la hoja de papel con cuatro caras. Veámoslo. En la que tenemos delante solo hay unos (1), le damos la vuelta y solo hay doses (2), luego dos caras. Ahora, con los doses mirando hacia nosotros, doblaremos la hoja por la mitad vertical, llevando las dos mitades hacia atrás, y cuando lleguemos a juntar las dos partes veremos que se nos abre la hoja por el medio, la ayudamos a abrirse con nuestros dedos y veremos que la hoja que tenemos delante tiene todos treses (3). Si volvemos a doblar la hoja por la mitad vertical, hacia atrás, descubriremos una nueva cara con todos cuatros (4). Es decir, tenemos cuatro caras …

juegos de ingenio

El salario: La última semana he ganado 250 euros, incluyendo el pago por horas extraordinarias. El sueldo asciende a 200 euros más que lo recibido por horas extraordinarias. ¿Cuál es mi salario sin las horas extraordinarias?

Este es el típico problema que, si se lee rápidamente, uno contesta 200 euros. Sin embargo, el problema necesita ser bien leído, bien entendido y quizás utilizar una notación adecuada. Para empezar si la respuesta fuese 200 y lo recibido por horas extraordinarias 50, tendríamos que el salario es 150 euros más que lo recibido por horas extraordinarias (y no 200).

Si denotamos por x lo recibido por horas extraordinarias, entonces 200 + x es el salario semanal y (200 + x) + x=250, es decir, x = 25 y el salario semanal 225. (No hace falta utilizar la x, pero así es más sencillo).

El barril de cerveza: Un tabernero tiene 5 barriles de vino y uno de cerveza. Vende una determinada cantidad de vino a un cliente, y el doble de esa cantidad a otro, tras lo cual se queda sin vino. Sabiendo que el vino lo vende por litros enteros, y que las capacidades de los barriles son 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros respectivamente, ¿Cuántos litros de cerveza tiene el tabernero?

(Solución: ¿Cómo resolver este problema? Como siempre primero leerlo bien y ver qué información nos da … nos dice que “vende una cantidad de vino a un cliente y el doble a otro” y se queda sin vino, luego la cantidad de vino es múltiplo de 3. Ahora con las capacidades de los barriles -15, 16, 18, 19, 20 y 31- veamos cómo obtenemos una suma múltiplo de 3 sumando 5 de las anteriores cantidades… y esto se consigue con 15 + 16 + 18 + 19 + 31 = 99. Es decir, la solución es que el tabernero tiene 20 litros de cerveza)

Estadística: Supongamos que una estadística sobre la población masculina de una ciudad dice que el 70 % de los hombres son feos, el 70 % de los hombres son tontos y el 70 % de los hombres son malos. ¿Cuál es, como mínimo, el porcentaje de hombres feos, tontos y malos?

(Solución: Veamos que la solución es que el mínimo porcentaje de hombres que podemos asegurar que son a la vez feos, tontos y malos es el 10 %. Una posible forma de resolver puede ser la siguiente: veamos las características, pero al revés, es decir, 3 de cada 10 hombres no son feos, 3 de cada 10 no son tontos y 3 de cada 10 no son malos. Luego, en el caso de que no coincidan esos hombres, los que no son feos, no son tontos y no son malos, habrá 9 hombres –de cada 10- que no tienen alguna de las características, es decir, existe un mínimo de un hombre que sí tiene las tres características. En el lenguaje del problema, el mínimo porcentaje de hombres que podemos asegurar que son a la vez feos, tontos y malos es el 10 %)

Pueden plantearse otras estrategias, esta es simplemente una que se nos ha ocurrido. Otra podría ser… supongamos que las 10 personas las identificamos con 10 cajas y las características son fichas. 7 fichas “feos”, 7 fichas “tontos” y 7 fichas “malos”, en total 21 fichas a distribuir en 10 cajas, luego hay un mínimo de una caja en la que hay tres fichas (…). Es decir, al menos 1 de cada 10 hombres es feo, tonto, malo.

Estos son tres ejemplos de los típicos problemas de ingenio que ponemos en este programa y cómo resolverlo. Pero ojo, habíamos dejado un problema planteado en el último programa…

Problema (La sucesión que se multiplica): ¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 6, 24, 60, 120, 210, 336,… y por qué?

Solución: En el título nos daban una sugerencia, algo relacionado con la multiplicación, … ahí tenemos muchas formas de abordarlo y muchas de ellas erróneas, … la cuestión es que en algún momento escribamos estos números en su descomposición factorial o como producto de números… 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 2 x 3 x 4, 60 = 3 x 4 x 5, 120 = 4 x 5 x 6, 210 = 5 x 6 x 7, 336 = 6 x 7 x 8, luego el siguiente es 7 x 8 x 9 = 504

Problema (¿cómo repartir el tesoro?): Un grupo de estudiantes ha encontrado un tesoro y quieren repartirlo entre el mayor número de compañeros de manera que cada persona reciba la misma cantidad de tesoro. El tesoro consiste en 42 barras de platino, 70 barras de oro y 112 de plata. ¿Cuál es ese número máximo de estudiantes para repartir el tesoro?

Solución:
14 personas. Para solucionar este problema lo que hay que hacer es ver de
cuántas formas podemos dividir el conjunto de barras de cada metal precioso en
grupos con el mismo número de barras. Por ejemplo, 70 puede separarse en 35
grupos de dos barras, en 14 grupos de 5 barras, en 10 grupos de 7 barras, en 7
grupos de 10 barras, en 5 grupos de 14 barras, en 2 grupos de 35 barras o en un
grupo de 70 barras. Esto es debido a que 70=7x5x2. Lo mismo habría que hacer
con 42 y con 112, y ver cuáles son los números de grupos coincidentes y tomar
el mayor. Teniendo en cuenta que 42=7x3x2 y 112=7x2x2x2x2, tenemos que el mayor
número divisor coincidente es 14, luego se puede repartir el tesoro entre 14
personas.

Mateadictos: Una sucesión que se multiplica

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 6, 24, 60, 120, 210, 336, … y por qué?

En el título nos daban una sugerencia, algo relacionado con la multiplicación, … ahí tenemos muchas formas de abordarlo y muchas de ellas erróneas, … la cuestión es que en algún momento escribamos estos números en su descomposición factorial o como producto de números… 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 2 x 3 x 4, 60 = 3 x 4 x 5, 120 = 4 x 5 x 6, 210 = 5 x 6 x 7, 336 = 6 x 7 x 8, luego el siguiente es 7 x 8 x 9 = 504)

Mateadictos: múltiplos de 14

 

¿Cuál es la suma de todos los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000?

(Nota: puede obtenerse una fórmula, similar a la de la anécdota de Gauss en la escuela, de la suma de los n primeros números)

 

Solución: 35.392. Los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000 son 112, 126, 140, …, 980, 994, que son 14 x 8, 14 x 9, 14 x 10, … , 14 x 70, 14 x 71. La suma es por tanto igual a 14 multiplicado por la suma de los números consecutivos, entre 8 y 71, 8 + 9 + 10 + … + 70 + 71. Esta suma, teniendo en cuenta que la suma de los simétricos respecto al centro siempre es 79 = 8 + 71 = 9 + 70 =…, es igual a [8 + 71] x [71 – 8 + 1] / 2 = 2.528. Ahora, si lo multiplicamos por 14, obtenemos 35.392

 

Mateadictos: Recogiendo cubos

 

Hay un montón de cubos en el suelo de una habitación, por ejemplo, 24 cubos, que hay que colocar formando una única torre vertical. ¿Cuál será la mejor estrategia para hacerlo? ¿Apilarlos de uno en uno, o quizás hacer primero dos grupos de 12, y después juntarlos, o hacer torres de cuatro cubos y luego juntarlas? … ¿Cuál será la mejor estrategia?

Solución:

Da igual cómo lo hagamos, siempre se necesitan 23 movimientos para apilar todos los cubos, puesto que en cada movimiento que hagamos, da igual cual sea este, se reduce en un montón el número de montones existentes)

 

Mateadictos: Las edades

Las edades de mi hermana y la mía están representadas por las dos mismas cifras, pero colocadas en orden opuesto. Yo soy el mayor y la suma de nuestras edades es once veces la resta de las mismas. ¿Cuáles son las edades de mi hermana y la mía?

Solución:

Mi edad es 54 y la de mi hermana 45. Si mi edad es ab, es decir, (a x10 + b), la edad de mi hermana es ba, esto es, (b x10 + a). Por lo tanto, la suma es 11x(a  + b), la resta 9x(a – b) y la hipótesis del problema nos dice que 11x(a  + b) = 11x9x(a – b). Luego, a + b = 9 y a – b =1, o sea, a = 5 y b = 4.

 

Mateadictos: El número 2020

Se trata de colocar los signos aritméticos de la suma (+), la resta (–), la multiplicación (x) y la división (/), así como corchetes si es necesario, entre los números, de izquierda a derecha, 10, 9, 8, así hasta 3, 2, 1, y cuyo resultado nos dé el número 2020…

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2020

Solución:

Este problema tiene varias soluciones, entre ellas ésta… que me parece bonita por su sencillez…

10 x 9 x 8 + (7 + 6) x 5 x 4 x (3 + 2) x 1 = 2020)

 

Mateadictos: Caminos sobre una cuadrícula

 

Se considera una cuadrícula formada por 8 líneas horizontales y 8 verticales. Se nombran algunos de los vértices con letras, dos vértices A, B, C, D y E, como aparece en la imagen. El problema consiste en trazar caminos, sobre las líneas de la retícula, que unan los puntos de igual nombre entre sí (A con A, B con B, C con C, D con D y E con E), de forma que los caminos no se toquen entre sí.

Solución:

 

Novelas gráficas muy matemáticas

El matemático Raul Ibáñez ha preparado una lista de novelas gráficas, relacionadas con las matemáticas que queremos compartir con nuestros oyentes:

 La amante cartesiana, Paloma Ruiz Román (guionista), Juan Alarcón (dibujante), Egales, 2016.

Esta novela gráfica está inspirada en un artículo del matemático José Manuel Rey, de la Universidad Complutense de Madrid, que describe un modelo matemático sobre la dinámica de las relaciones de pareja. Además, la protagonista de la historia es una profesora de matemáticas de un instituto de enseñanza secundaria.  

 

Logicomix, Una búsqueda épica de la verdad, Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou (guionistas), Alecos Papadatos (dibujante), Annie Di Donna (colorista), Ediciones Sins Entido, 2011. [versión original en griego de 2008 y versión inglesa de 2009]

 Uno de los guionistas de esta historia es el escritor Apostolos Doxiadis, que tuvo un gran éxito con su novela, del año 1992, El tío Petros y la conjetura de Goldbach.  La historia que se narra en esta novela gráfica es uno de los momentos más apasionantes y decisivos de la historia de las matemáticas, es la discusión teórica sobre los fundamentos de las matemáticas (es decir, el estudio de los conceptos básicos de las matemáticas, de las estructuras fundamentales de esta ciencia y del edificio lógico sobre el que se desarrolla) de finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Además, la historia está contada a través de uno de los protagonistas de la misma, el filósofo, lógico y matemático Betrand Russell. Y tendrá como protagonistas a muchos grandes matemáticos del momento, como Frege, Wittgenstein, Hilbert, Gödel o Poincaré, entre otros.

La historia empieza con una conferencia de Bertrand Russell en una universidad estadounidense, justo al inicio de la Segunda Guerra Mundial. A lo largo de dicha conferencia, de hecho, de la novela gráfica, Russell irá narrando la historia de los fundamentos de las matemáticas a través de su propia historia personal, empezando desde el principio, cuando era un niño.

 

Última lección en Gotinga, Davide Osenda, 001 Ediciones, 2009. (versión original en italiano)

Esta novela gráfica está ambientada en la alemania nazi anterior a la Segunda Guerra Mundial, justo después de la expulsión de muchos científicos judíos de la universidad alemana. De la Universidad de Gotinga, lugar en el que transcurre esta historia, se había echado a científicos de la talla de los físicos Max Born, Eugene Wigner, Leo Szilard o Edward Teller, o del matemático Richard Courant y la matemática Emmy Noether.

 La historia de este cómic empieza con un profesor de matemáticas dando su última lección en la Universidad de Gotinga … ante un aula vacía. Aunque, sin que lo sepa el profesor, un estudiante que iba a recoger un libro que se había dejado olvidado en el aula acabará escuchando esa clase. Esta última lección versará sobre un tema también fundamental en matemáticas, el concepto de infinito y la hipótesis del continuo.

 El matemático alemán George Cantor había demostrado en el año 1873 que existían diferentes tipos de infinitos. Por ejemplo, el infinito de los números naturales es más pequeño que el infinito de los números reales, dicho de otra forma, estos no se pueden numerar (por cierto, que en el cómic se reproduce la demostración utilizando las cartas de poker). Más aún, Cantor demostró que existían infinitos (tipos de) infinitos, pero no estaba claro cual de esos infinitos era el de los números reales. Y con esto tiene que ver la conocida como “hipótesis del continuo”, que conjetura que es el infinito de los números reales es el siguiente, en tamaño, después del infinito de los números naturales. Pero no se podía demostrar ese resultado, lo cual nos acaba enlazando este tema con los teoremas de incompletitud de Gödel (en concreto, la existencia de proposiciones que pueden ser verdaderas, pero que no se puede demostrar si lo son, o no).

 La última lección del profesor de matemáticas, que versaba sobre estos temas, transcurre al mismo tiempo que se produce la represión sobre los judíos en alemania, la época en la que empiezan los campos de concentración. De hecho, tras terminar su lección, el matemático es detenido en la calle por los nazis y subido a un camión que se lo lleva.

Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage, Sydney Padua, Editorial UOC, 2016.

Este cómic, con una estética muy cercana al movimiento steampunk, se centra en la vida y aportaciones científicas de Ada Byron, así como de su relación con Charles Babbage. Pero no solo nos habla de ellos dos, sino que poco a poco va introduciendo muchos otros personajes históricos, como la reina Victoria, el lógico George Boole, la escritora Mary Anne Evans (que firmaba como George Eliot), el matemático y escritor Lewis Carroll, el físico y matemático William Hamilton, entre otros. E incluso se atreve con cuestiones matemáticas como los números complejos y los cuaterniones de Hamilton, las geometrías no euclídeas, o algunas aportaciones matemáticas del grande de las matemáticas, Friedrich Gauss.

Además, no se trata solamente de un cómic. Cada una de las viñetas de una página está acompañada de unas pocas notas a pie de página que aclaran algunos de los aspectos de lo dibujado en dichas viñetas. Pero más aún, al terminar cada capítulo hay notas más extensas sobre aspectos biográficos, históricos y matemáticos. Al final del libro hay un apéndice sobre “algunos documentos principales entretenidos” y otro sobre “la máquina analítica”.

 

Descifrando enigma. Alan Turing, un genio de su tiempo, Jim Ottaviani (guionista), Leland Purvis (dibujante), Oberon (ANAYA), 2019.

El escritor Jim Ottaviani ya tiene una amplia experiencia en la realización de novelas gráficas sobre la vida de distintos científicos. Sus últimas novelas gráficas son Feyman (Norma, 2012), sobre el físico Richard Feyman, Primates (Norma, 2019), sobre las primatólogas Jane Goodall, Dian Fossey y Biruté Galdikas, la mencionada Descifrando Enigma y la última es Hawking.

La novela gráfica Descifrando enigma nos narra la biografía del matemático inglés Alan Turing, en especial, los años de Bletchley Park, en los que trabajó para romper el código de la máquina Enigma durante la segunda guerra mundial, que hemos podido ver también en la gran pantalla, en la película homónima The Imitation Game (Descrifrando enigma) de Morten Tyldum, e interpretada por el actor Benedict Cumberbatch.

La novela está dividida en tres partes, que se dedican a la infancia y juventud de Alan Turing, la parte de los años de la Segunda Guerra Mundial en Bletchley Park y finalmente, los años tras la guerra hasta su muerte. En la historia nos encontramos los elementos que ya conocemos, pero narrados con un estilo propio y fuera de la presión del mundo del cine, de realizar una película comercial: la costumbre de ir corriendo o en bicicleta a todos los sitios, su peculiar infancia y juventud, su relación con Christopher Morcom, su homosexualidad, su creación de la maquina universal (conocida como máquina de Turing), su viaje a Princeton donde estuvo en contacto con Alonzo Church y John von Newman, la anécdota de llevar una máscara antigas por la fiebre del heno, todo su trabajo para construir una máquina, llamada “bomba” que rompiera el código de la máquina de encriptado alemana Enigma, el ambiente de Bletchley Park, su compromiso de matrimonio con Joan Clark, su trabajo sobre las máquinas inteligentes, su detención y condena por ser homosexual, el tratamiento por estrógenos obligado para no ir a la cárcel y su enigmática muerte, entre otros muchos.

 

Por otra parte, nos encontramos con novelas gráficas que no podemos calificar como matemáticas, en el sentido de las anteriores, pero que tienen algún elemento matemático, más o menos destacados, como por ejemplo:

Las calles de arena, Paco Roca, Astiberri, 2009.

Un joven llega tarde a la cita con su pareja y decide tomar un atajo y meterse por una determinada zona de la ciudad, en la que acabará perdiéndose y de donde no podrá salir, por mucho que lo intente. Esa noche, exhausto acabará pidiendo una habitación en un peculiar hotel… este es el punto de inicio de esta novela gráfica.

Al leer esta historia nos veremos transportamos a algunos universos literarios, como Las ciudades Invisibles de Italo Calvino, pero sobre todo al mundo de Borges. Un elemento claro en este sentido, y conectado con las matemáticas, es el personaje que está diseñando un mapa de escala 1:1, es decir, “escala real”, luego un mapa perfecto, pero completamente inútil, sin utilidad alguna, como el mapa del exquisito texto de Borges Del rigor de la ciencia. Idea esta, del mapa de escala 1:1, que también encontramos en el libro Silvia y Bruno, de Lewis Carroll.

Otro mapa que aparece en la historia es el mapa completamente blanco, solo con meridianos y paralelos, sin nada más, que nos recuerda al mapa blanco, también inservible, del poema de Lewis Carroll, La caza del Snark.

Pero uno de los contenidos matemáticos explícitos de esta novela gráfica tiene que ver también con el infinito, de hecho con la paradoja conocida como el hotel infinito de Hilbert, de que hemos hablado aquí en alguna ocasión, y que pone de manifiesto lo extraño de algunas propiedades del infinito (quien no lo recuerde puede ver mi video sobre el hotel infinito de Hilbert, del programa Orbita Laika, que está en el Cuaderno de Cultura Científica).

Cuando el protagonista de la historia, que no puede salir del barrio viejo de la ciudad, descubre que el hotel en el que se aloja es enorme, que se extendiende hacia el cielo, como si no terminase nunca, otro de los personajes, con el que comparte habitación, le dice “Dicen que el Hotel de la Torre tiene infinitas habitaciones. Yo no me lo creo. Lo diseñó un tal Hilbert, matemático, creo”.