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Mateadictos: Los tres armarios

Un hombre tenía en su oficina tres armarios, cada uno de los cuales contenía nueve casilleros, como se muestra en el diagrama. Le dijo a su empleado que colocara un número de una cifra diferente en cada taquilla del armario A, y que hiciera lo mismo en el caso de B, y de C.

 

 

 

 

Ahora bien, el empresario no dijo que los armarios debían ser numerados en ningún orden numérico, y se sorprendió al encontrar, cuando el trabajo estaba hecho, que las cifras habían sido aparentemente mezcladas indiscriminadamente. Al pedirle explicaciones a su empleado, el excéntrico muchacho le dijo que se le había ocurrido ordenar las cifras de manera que en cada caso formaran una simple suma, las dos filas superiores de cifras producían la suma de la fila inferior. Pero el punto más sorprendente era éste: que los había dispuesto de tal manera que la suma en A daba la menor suma posible, que la suma en C daba la mayor suma posible, y que los nueve dígitos de los tres resultados totales de las sumas eran diferentes. El acertijo consiste en mostrar cómo se puede hacer esto. No se admiten decimales y el cero no puede aparecer en el lugar de la centena.

(Nota: El problema está pidiendo que se busquen tres sumas pandigitales (con cero incluido) del tipo ABC + DEF = GHI, la primera la más pequeña posible y la tercera la más grande posible, junto con una última condición, que los resultados de las tres sumas sea pandigital también)

Solución: Como decíamos, nos está pidiendo que busquemos tres sumas del tipo ABC + DEF = GHI. La suma más pequeña de este tipo es 107 + 249 = 356 (que iría en el primer armario), mientras que la suma más grande es 235 + 746 = 981, o también, 324 + 657 = 981 (una de ellas iría en el tercer armario). Como los resultados de esas dos sumas son 356 y 981, entonces el resultado de la suma del armario del centro debe de tener tres de las cifras restantes, es decir, 0, 2, 4, 7. Por lo tanto, las sumas posibles para el armario del centro son 134 + 586 = 720, 134 + 568 = 702 ó 138 + 269 = 407.

 

Mateadictos: peras y manzanas

En una frutería hay seis cajas de manzanas, salvo una que es de peras. El primer cliente que llega se lleva una cierta cantidad de manzanas, mientas que el siguiente cliente se lleva el doble de manzanas que el anterior y el frutero se queda sin manzanas. Sabiendo que en la frutería solamente se venden cajas completas de fruta y que cada caja lleva marcado el número de manzanas que contiene (a saber, 15, 16, 18, 19, 20 y 31), ¿cuál es la caja de peras?

Solución: Los clientes compraron las siguientes cajas de manzanas: el primero las cajas de 15 y 18 manzanas, mientras que el segundo las cajas con 16, 19 y 31 manzanas, luego la caja de peras es la que tenía 20 unidades

 

Mateadictos: El clásico problema de las sandías frescas

Como todos sabemos las sandías tienen una gran cantidad de agua. Cuando están frescas el 99% es agua. En cierta ocasión un agricultor había sacado de su huerta 100 kilos de sandías frescas, pero al estar varios días al sol esperando que viniera un camión a recogerlas estas se secaron un poco, y pasaron a tener un contenido del 98% en agua. ¿Cuánto pesaban las sandías cuando las recogió el camión?

 

Solución: Las sandías pesan 50 kilos. De los 100 kilos que pesan las sandías, el 1% no es agua, es decir, 1 kilo. Por otra parte, al secarse las sandías el contenido en agua a pasado a ser del 98%, luego la parte sólida es ahora del 2%, que es 1 kilo, como hemos comentado. Pero 1 kilo es el 2% de 50 kilos, que será lo que pesan las sandías cuando las recogió el camión

 

Mateadictos: 7890 piedras

Disponemos de las 7.890 piedras del problema anterior y queremos separarlas en tres montones de forma que, si dividimos la cantidad de piedras del primer montón por 3, la del segundo por 6 y la de tercero por 9, el cociente es, en los tres casos, el mismo número.

 

Solución: Los tres montones constan de 1.315, 2.630 y 3.945 piedras. La solución se obtiene de la siguiente forma. Si consideramos que la cantidad de piedras de cada montón es x, y, z, entonces la suma es 7.890, esto es, x + y + z = 7.890. Además, las condiciones del problema nos dicen x / 3 = y / 6 = z / 9, de donde z = 3 x, y = 2x. Introduciendo esto en la ecuación primera tenemos que x = 1.315, y = 2.630 y z = 3.945

 

Mateadictos: Regalos navideños

Estas navidades le he regalado a uno de mis amigos un rompecabezas matemático y un libro. Cinco veces el precio del rompecabezas era exactamente igual a doce veces el precio del libro, y los dos juntos costaron 85 euros.  ¿Cuál fue el precio de cada uno?

 

Solución: El rompecabezas matemático costó 60 euros y el libro 25 euros. Este problema se resuelve fácilmente con ecuaciones algebraicas. Si el precio del juego es x euros y el del libro y euros, entonces las condiciones del problema nos dicen que 5 x = 12 y, así como que x + y = 85. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que x = 60 e y = 25

 

Mateadictos: Adivina el número

¿Cuál es el número de dos dígitos tal que su valor es igual a cinco veces la suma de sus dígitos y si se suma nueve al número se obtiene un número con los mismos dígitos que el número original, pero con el orden cambiado?

Solución: El número es 45. Para resolverlo se considera que el
número de los dígitos es “ab”, luego su valor es 10a + b. Por las
condiciones del problema tenemos que 10a + b = 5 x (a + b) y
10a + b + 9 = 10 b + a. Despejando en la segunda ecuación se
tiene que b = a + 1. Y pasando esto a la primera, a = 4, de donde b
=5

 

Mateadictos: 100 botellas de vino

Un bodeguero vendió en ocho días 100 botellas de vino, cada día vendió tres botellas más que el día anterior.

¿Cuántas botellas vendió el primer día y en cada uno de los días sucesivos

Solución: El primer día vendió 2 botellas, luego el resto de días 5, 8, 11, 14, 17, 20 y 23 botellas. La solución es sencilla. Si el primer día vendió x botellas, entonces las botellas que vendió fueron x + (x+3) + (x+6) + (x+9) + (x+12) + (x+15) + (x+18) + (x+21), que en total son 100 botellas. Resolviendo esta sencilla ecuación algebraica de primer grado se obtiene que x = 2)

 

Mateadictos: cruzando un puente

Imaginemos la típica película de acción en la que cuatro personajes deben de cruzar un puente en el que se ha colocado una bomba que estallará en 17 minutos. Cada uno de los personajes tarda un tiempo diferente en cruzar: el personaje A tarda 1 minuto, el B tarda 2 minutos, el C tarda 5 minutos y el personaje D es el más lento, pues tarda 10 minutos.

Pero, además, es de noche, disponen de tan solo una linterna para poder ver mientras cruzan y solamente pueden cruzar dos al mismo tiempo, ¿cómo deberían cruzar el puente para hacerlo antes de que estalle la bomba?

Una solución sería la siguiente: Primero cruzan A y B (tardan 2 minutos), regresa A con la antorcha (un minute más, en total 3 minutos), luego cruzan C y D (10 minutos más, vamos 13), regresa B con la antorcha (2 minutos más, en total,15 minutos) y finalmente cruzan A y B llegando justo en 17 minutos.)

 

Mateadictos: un problema de edades

Un amigo le dice a otro. “Soy tres veces más viejo de lo que tú eras cuando yo tenía la edad que tú tienes ahora”. Si la suma de las edades de los dos amigos, en el momento de la conversación, es 60, ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?

Solución:

Si el amigo mayor tiene x años y el menor y años. El mayor tenía y años hace x – y años, luego el pequeño tenía y – (x – y) = 2y – x. Por lo tanto, la condición “soy tres veces más viejo de lo que tú eras cuando yo tenía la edad que tú tienes ahora” se escribe algebraicamente como x = 3 (2y – x). De donde sacamos que 4 x = 6y. Como, además, x + y = 60, se tiene que x = 36 e y = 24

 

Fe de erratas:  En el enunciado la suma de las edades se puso de forma errónea (64 años en vez de 60) Y encima no hay forma de que se vean los comentarios aprobados…

 

Mateadictos: La jungla de cristal

Este es un problema clásico, pero que apareció en la tercera entrega de la serie de películas La jungla de cristal. En la película, el “súper malo” (interpretado por Jeremy Irons) ha colocado una bomba dentro de un maletín en un parque público. Los protagonistas, el Teniente John McLane (Bruce Willis) y su amigo de turno Zeus Carver (Samuel L. Jackson), tienen que desactivarla. Para lograrlo deben colocar exactamente 4 galones de agua sobre una balanza. Disponen para ello de dos garrafas vacías de 5 y 3 galones respectivamente, un estanque de agua donde llenar las garrafas y un tiempo de 5 minutos. ¿Cómo conseguirlo?

Solución:  llenamos nuestra garrafa de 5 galones y vaciamos 3 galones en la otra garrafa, quedando sólo 2 galones en la garrafa de 5; ii) ahora echamos los 2 galones en la garrafa de 3; iii) llenamos la garrafa de 5 galones y vaciamos de esta 1 galón que sirve para llenar la de 3 –que tenía 2-, consiguiendo de este modo que queden 4 galones en la garrafa grande)