Archivo de la categoría: Mateadictos

Mateadictos: cruzando un puente

Imaginemos la típica película de acción en la que cuatro personajes deben de cruzar un puente en el que se ha colocado una bomba que estallará en 17 minutos. Cada uno de los personajes tarda un tiempo diferente en cruzar: el personaje A tarda 1 minuto, el B tarda 2 minutos, el C tarda 5 minutos y el personaje D es el más lento, pues tarda 10 minutos.

Pero, además, es de noche, disponen de tan solo una linterna para poder ver mientras cruzan y solamente pueden cruzar dos al mismo tiempo, ¿cómo deberían cruzar el puente para hacerlo antes de que estalle la bomba?

Una solución sería la siguiente: Primero cruzan A y B (tardan 2 minutos), regresa A con la antorcha (un minute más, en total 3 minutos), luego cruzan C y D (10 minutos más, vamos 13), regresa B con la antorcha (2 minutos más, en total,15 minutos) y finalmente cruzan A y B llegando justo en 17 minutos.)

 

Mateadictos: un problema de edades

Un amigo le dice a otro. “Soy tres veces más viejo de lo que tú eras cuando yo tenía la edad que tú tienes ahora”. Si la suma de las edades de los dos amigos, en el momento de la conversación, es 60, ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?

Solución:

Si el amigo mayor tiene x años y el menor y años. El mayor tenía y años hace x – y años, luego el pequeño tenía y – (x – y) = 2y – x. Por lo tanto, la condición “soy tres veces más viejo de lo que tú eras cuando yo tenía la edad que tú tienes ahora” se escribe algebraicamente como x = 3 (2y – x). De donde sacamos que 4 x = 6y. Como, además, x + y = 60, se tiene que x = 36 e y = 24

 

Fe de erratas:  En el enunciado la suma de las edades se puso de forma errónea (64 años en vez de 60) Y encima no hay forma de que se vean los comentarios aprobados…

 

Mateadictos: La jungla de cristal

Este es un problema clásico, pero que apareció en la tercera entrega de la serie de películas La jungla de cristal. En la película, el “súper malo” (interpretado por Jeremy Irons) ha colocado una bomba dentro de un maletín en un parque público. Los protagonistas, el Teniente John McLane (Bruce Willis) y su amigo de turno Zeus Carver (Samuel L. Jackson), tienen que desactivarla. Para lograrlo deben colocar exactamente 4 galones de agua sobre una balanza. Disponen para ello de dos garrafas vacías de 5 y 3 galones respectivamente, un estanque de agua donde llenar las garrafas y un tiempo de 5 minutos. ¿Cómo conseguirlo?

Solución:  llenamos nuestra garrafa de 5 galones y vaciamos 3 galones en la otra garrafa, quedando sólo 2 galones en la garrafa de 5; ii) ahora echamos los 2 galones en la garrafa de 3; iii) llenamos la garrafa de 5 galones y vaciamos de esta 1 galón que sirve para llenar la de 3 –que tenía 2-, consiguiendo de este modo que queden 4 galones en la garrafa grande)

 

 

Mateadictos: café o té

Miren, Ana y Zaida son tres amigas que suelen quedar después de comer para tomar café o té.

  1. a) Cuando Miren pide café, Ana pide la misma infusión que Zaida;
  2. b) Cuando Ana pide café, Miren pide una infusión distinta que Zaida;
  3. c) Cuando Zaida pide té, Miren pide la misma infusión que Ana.

¿De cuál de las tres amigas podemos asegurar que siempre pide la misma infusión?

Solución:

Por las condiciones del problema solo podemos asegurar que Miren solo toma té, nunca café. Si tenemos en cuenta la condición a, tenemos que las posibilidades son las que aparecen en el siguiente cuadro:

 

Si ahora tenemos en consideración las condiciones b y c, podemos eliminar tres de las opciones:

 

 

 

 

 

 

Por lo tanto, teniendo en cuentas las descripciones del problema, Miren solo puede tomar té.

 

 

 

Mateadictos: La cena, de un libro de Carlo Fabretti

Cuando el camarero les avisa de que la cena está dispuesta, los ocho comensales se sientan al azar alrededor de una mesa redonda. Los ocho comensales son las cuatro parejas formadas por Aida y Ane, Beñat y Begoña, Carmelo y Carlos, Dylan y Dorleta. ¿Cuál es la probabilidad de que Carmelo se siente al lado de su pareja Carlos?

Solución: La solución es 2/7. Si tomamos como referencia el sitio en el que se ha sentado Carlos, entonces Carmelo tiene 7 asientos posibles para sentarse y solo 2 de ellos son al lado de su pareja Carlos

 

Las reglas de la divisibilidad, por Raúl Ibáñez

 

Las reglas de divisibilidad de la aritmética parecen pequeños trucos de magia que nos permiten conocer, de forma más o menos rápida, si un cierto número, por ejemplo, 1.056.475.343, es divisible por 2, 3, 4, 5 u otros números. Aunque nos puedan parecer una tontería, e incluso una simple anécdota matemática, estas reglas son muy útiles, y mostraremos a modo de ejemplo algunas sencillas aplicaciones de algunas de las reglas de divisibilidad.

Por ejemplo, en más de una ocasión hemos hablado en este espacio de los números primos, aquellos que solamente son divisibles por el 1 y por ellos mismos, como el 2, el 3 o el 11, pero no el 6, divisible también por 2 y 3. Un resultado sobre números primos fruto de una de las reglas de divisibilidad es el siguiente.

Propiedad 1: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

(Recordemos que los números pandigitales son aquellos que están formados por todas las cifras básicas, con o sin el cero, como 934.521.687 ó 6.054.392.187)

También hemos puesto nuestra atención en algún programa en los números capicúas, de los que podemos obtener la siguiente propiedad.

Propiedad 2: Los números capicúas con un número par de dígitos, por ejemplo, 352.253 son divisibles por 11. Por lo tanto, tampoco son números primos.

En otro programa de hace unos años explicamos un sencillo truco de magia, que se realizaba con una calculadora, basado en la regla de divisibilidad del número 9. En el programa de hoy veremos otro truco de magia basado también en el criterio de divisibilidad del 9.

Pero vayamos a las reglas de divisibilidad. Vamos a empezar explicando las reglas en grupos de números relacionados entre sí.

Reglas de divisibilidad de 2, 5 y 10. Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, la base de numeración con la que trabajamos es 10. Los divisores de este número son 1, 2, 5 y el propio 10, lo cual hace que los criterios de divisibilidad de estos números están relacionados.

La regla de divisibilidad del 10: un número es divisible por 10 si su dígito de las unidades (el primero empezando por la derecha) es 0.

La regla de divisibilidad del 5: un número es divisible por 5 si su dígito de las unidades es 0 o 5.

La regla de divisibilidad del 2: un número es divisible por 2 si su dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.

Vamos a dar una pequeña justificación de estas reglas. En general, las reglas de divisibilidad se pueden demostrar utilizando la representación decimal de los números. Si consideramos un número cualquiera como 8.346, su valor es

8 x 1.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 6

Como las potencias de 10 (1.000, 100 y 10) son divisibles por 10, luego también por 2 y 5, entonces el número será divisible por 10, si lo es la cifra de las unidades, que i) en el caso del 10 significa que las unidades valen 0; ii) en el caso de 5, que valen 0 o 5; iii) en el caso de 2, que valen 0, 2, 4, 6 o 8.

Luego el número 8.346 es divisible por 2, pero no por 5 o 10. O también, el número 564.930 es divisible por 10, luego también por 2 y 5, o el número 735 es divisible por 5, pero no lo es ni por 2, ni por 10. Por otra parte, el número inicial 1.056.475.343 no se puede dividir por ninguno de los tres.

Reglas de divisibilidad de 4, 8, 16, … Los criterios de divisibilidad anteriores, para 2, 5 y 10, se pueden extender a las potencias de estos números de una forma sencilla. Veamos el ejemplo del número 4.

La regla de divisibilidad del 4: un número es divisible por 4 si, y sólo si, él número formado por los dos primeros dígitos de la derecha (decenas y unidades) es divisible por 4.

Así, el número 5.316 es divisible por 4, ya que el número formado por los dos primeros dígitos de la derecha -16- es divisible por 4, mientras que 3.414 no lo es, por no serlo 14.

La justificación de esta regla es similar a la vista en el apartado anterior. La idea es que las potencias de 10, a partir del 100, son divisibles por 4, luego el número es divisible por 4 si, y solo si, el número formado por las decenas y unidades es divisible por 4.

Teniendo en cuenta que 100 = 4 x 25, el argumento es válido para 4 (22), 25 (52) y 100 (102). Es decir, un número es divisible por 4, 25 o 100, respectivamente, si, y sólo si, el número formado por los dos dígitos de la derecha del número original, también lo es. Aunque en el caso de 100 lo que quiere decir es que los dos dígitos de la derecha son ceros.

Por ejemplo, el número 4.200 es divisible por 100, luego por todos los divisores de 100, el número 763.475 es divisible por 25, pero no por 100, ni por 4.

Volvamos a que el número 5.316 es divisible por 4, ya que los dos últimos dígitos -16- lo son. Lo curioso es que podemos seguir añadiendo dígitos a la izquierda del número para obtener números más grandes y la divisibilidad por 4 se mantendrá en todos ellos. Así, el número 2.943. 445.316 sigue siendo divisible por 4, ya que la regla estudiada nos dice que solo importan los dos dígitos de la derecha (16).

Reglas de divisibilidad de 3 y 9. Las reglas de divisibilidad del 3 y el 9 suelen ser de las pocas reglas, además de las de 2, 5 y 10, que suelen aprenderse en la escuela.

Mientras que las reglas anteriores implicaban solo a una pequeña parte del número, formado por cierto grupo de dígitos de su parte derecha, en los criterios de divisibilidad que vamos a ver ahora están implicados todos los dígitos del número.

La regla de divisibilidad del 3: un número es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3.

La demostración, haciendo uso de la representación posicional decimal de los números, es también muy sencilla, aunque no vamos a explicarla aquí. Para quienes estéis interesados podéis leerla en un artículo reciente que he publicado sobre el tema en el Cuaderno de Cultura Científica de la UPV.

Veamos si el número del principio, 1.056.475.343, es divisible por 3. No lo es, ya que la suma de sus dígitos es 38, que no es divisible por 3. Por otro lado, el número 197.536.892.361 sí es divisible por 3, ya que a suma de sus dígitos es 60, claramente múltiplo de 3.

Más aún, como la condición que debe cumplir un número para ser divisible por 3 es que la suma de los dígitos del mismo también sea divisible por 3, se puede aplicar de nuevo la regla de divisibilidad a esta última cantidad, si fuese grande. Es decir, tenemos una regla que se puede aplicar de forma recursiva. [Por ejemplo, para saber si el número 794.612.966.663.462.659.937 es divisible por 3, hay que sumar sus dígitos y esa suma es 116, pero a su vez para saber si este es divisible por 3 sumamos sus dígitos 1 + 1 + 6 = 8, cuyo resultado no es divisible por 3, luego tampoco el número enorme anterior.]

Además, el argumento que se ha realizado para el número 3 demuestra lo mismo para el número 9.

La regla de divisibilidad del 9: un número es divisible por 9 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Ya estamos en condiciones de demostrar la propiedad 1 que he mencionado al principio: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

El motivo es que la suma de los dígitos de un número pandigital es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, que es múltiplo de 9, luego cualquier número pandigital es múltiplo de 9, luego no es primo.

Veamos un truco de magia basado en esta idea. Se pide a una persona que piense –y escriba en un papel– un número de cinco o seis dígitos, aunque puede ser otra cantidad de dígitos. Por ejemplo, el número 632.571. Se puede enseñar el número a las demás personas “al resto del público”, pero no a la persona que le hace el truco. Después se le pide que cambie, a su gusto, el orden de los dígitos del número. Por ejemplo, 521.736. Y, además, que reste el mayor del menor, 632.571 – 521.736 = 110.835. A continuación, se le pide que elija uno de los dígitos no nulos del número que ha resultado de la resta. Supongamos que elige el 1. Lo siguiente es que diga en alto el resto de los dígitos y la persona que hace el truco adivinará, por arte de magia, el dígito que falta. La clave está en que el número resultante de la resta, en el ejemplo, 110.835, es siempre divisible por 9 (es sencillo justificar esto utilizando la representación decimal de los números), luego verifica la regla de divisibilidad. Como ha elegido el 1, la suma del resto es 1 + 0 + 8 + 3 + 5 = 17, y aplicando la regla de nuevo 1 + 7 = 8. Como falta 1 para llegar a 9, entonces, ese es el dígito elegido y oculto. 

Las reglas de divisibilidad de los números 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4 y 15 = 3 x 5 son consecuencia inmediata de las reglas anteriores, por ejemplo, un número es divisible por 6 si es divisible por 2y 3, luego:

La regla de divisibilidad del 6: un número es divisible por 6 si, y sólo si, el dígito de las unidades es 2, 4, 6, 8 o 0, y la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Vamos a terminar con las reglas de divisibilidad de 7, 11 y 13, que están relacionadas porque 1001 = 7 x 11 x 13.

La regla de divisibilidad del 11: un número es divisible por 11 si, y sólo si, la suma alternada de sus dígitos (es decir, se va alternando suma y resta) es múltiplo de 11 (incluido el 0).

Veamos algún ejemplo. Empecemos por el número con el que abríamos esta entrada, el 1.056.475.343. Calculemos la suma alternada de sus dígitos 1 – 0 + 5 – 6 + 4 – 7 + 5 – 3 + 4 – 3 = 0, luego es múltiplo de 11. Otro ejemplo sería el número 2.519, cuya suma alternada de sus dígitos es 2 – 5 + 1 – 9 = – 11, luego efectivamente el divisible por 11.

Por este criterio es fácil ver que: Los números capicúas con un número par de dígitos son divisibles por 11.

En los números capicúas con una cantidad par de dígitos, como 327.723, los dígitos que ocupan posiciones impares y pares son los mismos, e igual a los dígitos que están en la derecha y la izquierda del número (posiciones impares desde la izquierda, 3, 7, 2, mientras que en las pares 2, 7, 3), luego la suma alternada es cero, por lo que se cumple la regla de divisibilidad del 11.

La regla de divisibilidad del 7, 11 y 13. Un número es divisible por 7, 11 o 13, resp., si la suma alternada de los grupos de tres dígitos, empezando por la derecha, también lo es.

Por ejemplo, si tomamos la suma alternada de los grupos de tres dígitos del número 5.166.574.959 se obtiene 959 – 574 + 166 – 5 = 546. Como 546 es el producto de 6, 7 y 13, se deduce que el anterior número es divisible por 7 y 13, pero no por 11.

Mateadictos: Un problema difícil

La matemática Miren Andetxaga planteó el siguiente problema a sus estudiantes de matemáticas: si se escriben los números naturales seguidos, en su orden natural y empezando en el 1, es decir, 123456789101112… ¿cuál será la cifra que ocupa la posición 552.715 en esa lista?

Solución: Es la cifra 6. La clave para resolver este problema es conocer cuántos dígitos tienen los números cuando hemos llegado a la posición 552.715. Para ello, razonamos así:

 

A. Los números de un dígito, del 1 al 9, suman un total de 9 dígitos en la lista 123456789.

B. Los números de dos dígitos, del 10 al 99, suman un total de 2 x 90 = 180 dígitos.

C. Los de tres dígitos, del 100 al 999, suman un total de 3 x 900 = 2.700 dígitos.

D. Los de cuatro dígitos, del 1.000 al 9.999, suman un total de 4 x 9.000 = 36.000 dígitos.

E. Los de cinco dígitos, del 10.000 al 99.999, suman un total de 5 x 90.000 = 450.000 dígitos.

F. Los de seis dígitos, del 100.000 al 999.999, suman un total de 6 x 900.000 = 5.400.000 dígitos.

 

Como el listado con todos los números con 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, tiene 9 + 180 + 2.700 + 36.000 + 450.000 = 488.889 dígitos, la cifra que está en la posición 552.715 pertenece a un número de 6 dígitos.

Más aún, restando 552.715 – 488.889 = 63.826, es decir, la cifra buscada está en la posición 63.826 dentro de los números con 6 dígitos. Ahora, dividiendo entre 6 para saber cuántos números de 6 dígitos hemos puesto para llegar a esa posición, tenemos que

63.826 = 10.637 x 6 + 4.

Es decir, la cifra buscada está en el número 10.638 de 6 dígitos, de hecho, es el cuarto dígito (el resto). Luego es el cuarto dígito del número 100.000 + 10.637 = 110.637, es decir, el 6. )

Mateadictos: De viaje por Iparralde

Un joven de Hegoalde decidió viajar a Iparralde para conocerlo. Su idea era visitar durante algunos días cada una de las tres provincias, Lapurdi, Zuberoa y Benafarroa. Antes de salir solamente tenía un poco de dinero, por lo que se llevó la txalaparta para sacar algo de dinero tocando en la calle. En Lapurdi dobló el dinero que tenía inicialmente y gastó 120 euros. En Zuberoa triplicó el dinero que tenía al llegar y gastó 70 euros, mientras que en Benafarroa dobló el dinero que me quedaba y gastó 90 euros. Y al finalizar el viaje solamente le quedaban 10 euros. ¿Cuántos euros tenía al iniciar el viaje?

Solución: Empezó el viaje con x euros, tras pasar por Lapurdi le quedaban 2x – 120, tras Zuberoa 3(2x – 120) – 70, y tras Benafarroa 2[3(2x – 120) – 70] – 90 = 10, despejando x obtenemos x=80 euros.

Mateadictos: en busca de un número

Tenemos en encontrar el menor número tal que al dividirlo por…

i) 2, el resto es 1,
ii) 3, el resto es 2,
iii) 4, el resto es 3,
iv) 5, el resto es 4,
v) 6, el resto es 5,
vi) 7, el resto es 6,
vii) 8, el resto es 7,
viii) 9, el resto es 8.

Solución: Este problema se soluciona cambiando el punto de vista, si al número que buscamos n le sumamos 1, entonces tenemos que las condiciones del problema nos dicen que es divisible por 2,3,4,5,6,7,8,9, luego el mínimo común múltiplo de todos ellos es 9 x 8 x 7 x 5 = 2.520, y nuestro número 2.519

Mateadictos: Las hijas del profesor de matemáticas

Dos profesores (uno de Matemáticas y otro de Literatura) están charlando sobre sus respectivas familias.

– Por cierto, ¿qué edades tienen tus tres hijas?- pregunta el Profesor de Literatura.

– El producto de sus edades es 36, y su suma, casualmente es igual al número de tu casa- contesta el Profesor de Matemáticas.

Tras reflexionar un rato, el Profesor de Literatura dice:

– Me falta un dato.

– Tienes razón –admite el Profesor de Matemáticas-. Me había olvidado decirte que mi hija mayor toca el piano.

Problema, ¿qué edades tienen las tres hijas del profesor?

(nota: las edades de las hijas están comprendidas entre 1 año y 36 años)

Solución: Las edades son 9, 2 y 2 años. El número 36 puede descomponerse en tres factores –las tres edades de las niñas- de la siguiente forma, 1, 1, 36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9; 1, 6, 6; 2, 2, 9; 2, 3, 6; 3, 3, 4. Ahora, puesto que el profesor de literatura, que intenta resolver el acertijo, conoce el número de su propia casa, si estas ocho ternas de números sumaran cantidades distintas, hallaría fácilmente las edades de las niñas, sin más que elegir la terna que sume el número de su casa. Sin embargo, dice que le falta un dato, lo cual se debe a que hay ternas que suman lo mismo. Exactamente, las ternas 1, 6, 6 y 2, 2, 9 suman ambas 13 años, luego ha de ser una de las dos ternas, ya que en caso contrario no le faltarían datos y habría contestado correctamente ya. La aclaración “mi hija mayor toca el piano” nos da la información de que solo hay una hija mayor, por lo tanto, la terna correcta es 2, 2, 9