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Las reglas de la divisibilidad, por Raúl Ibáñez

 

Las reglas de divisibilidad de la aritmética parecen pequeños trucos de magia que nos permiten conocer, de forma más o menos rápida, si un cierto número, por ejemplo, 1.056.475.343, es divisible por 2, 3, 4, 5 u otros números. Aunque nos puedan parecer una tontería, e incluso una simple anécdota matemática, estas reglas son muy útiles, y mostraremos a modo de ejemplo algunas sencillas aplicaciones de algunas de las reglas de divisibilidad.

Por ejemplo, en más de una ocasión hemos hablado en este espacio de los números primos, aquellos que solamente son divisibles por el 1 y por ellos mismos, como el 2, el 3 o el 11, pero no el 6, divisible también por 2 y 3. Un resultado sobre números primos fruto de una de las reglas de divisibilidad es el siguiente.

Propiedad 1: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

(Recordemos que los números pandigitales son aquellos que están formados por todas las cifras básicas, con o sin el cero, como 934.521.687 ó 6.054.392.187)

También hemos puesto nuestra atención en algún programa en los números capicúas, de los que podemos obtener la siguiente propiedad.

Propiedad 2: Los números capicúas con un número par de dígitos, por ejemplo, 352.253 son divisibles por 11. Por lo tanto, tampoco son números primos.

En otro programa de hace unos años explicamos un sencillo truco de magia, que se realizaba con una calculadora, basado en la regla de divisibilidad del número 9. En el programa de hoy veremos otro truco de magia basado también en el criterio de divisibilidad del 9.

Pero vayamos a las reglas de divisibilidad. Vamos a empezar explicando las reglas en grupos de números relacionados entre sí.

Reglas de divisibilidad de 2, 5 y 10. Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, la base de numeración con la que trabajamos es 10. Los divisores de este número son 1, 2, 5 y el propio 10, lo cual hace que los criterios de divisibilidad de estos números están relacionados.

La regla de divisibilidad del 10: un número es divisible por 10 si su dígito de las unidades (el primero empezando por la derecha) es 0.

La regla de divisibilidad del 5: un número es divisible por 5 si su dígito de las unidades es 0 o 5.

La regla de divisibilidad del 2: un número es divisible por 2 si su dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.

Vamos a dar una pequeña justificación de estas reglas. En general, las reglas de divisibilidad se pueden demostrar utilizando la representación decimal de los números. Si consideramos un número cualquiera como 8.346, su valor es

8 x 1.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 6

Como las potencias de 10 (1.000, 100 y 10) son divisibles por 10, luego también por 2 y 5, entonces el número será divisible por 10, si lo es la cifra de las unidades, que i) en el caso del 10 significa que las unidades valen 0; ii) en el caso de 5, que valen 0 o 5; iii) en el caso de 2, que valen 0, 2, 4, 6 o 8.

Luego el número 8.346 es divisible por 2, pero no por 5 o 10. O también, el número 564.930 es divisible por 10, luego también por 2 y 5, o el número 735 es divisible por 5, pero no lo es ni por 2, ni por 10. Por otra parte, el número inicial 1.056.475.343 no se puede dividir por ninguno de los tres.

Reglas de divisibilidad de 4, 8, 16, … Los criterios de divisibilidad anteriores, para 2, 5 y 10, se pueden extender a las potencias de estos números de una forma sencilla. Veamos el ejemplo del número 4.

La regla de divisibilidad del 4: un número es divisible por 4 si, y sólo si, él número formado por los dos primeros dígitos de la derecha (decenas y unidades) es divisible por 4.

Así, el número 5.316 es divisible por 4, ya que el número formado por los dos primeros dígitos de la derecha -16- es divisible por 4, mientras que 3.414 no lo es, por no serlo 14.

La justificación de esta regla es similar a la vista en el apartado anterior. La idea es que las potencias de 10, a partir del 100, son divisibles por 4, luego el número es divisible por 4 si, y solo si, el número formado por las decenas y unidades es divisible por 4.

Teniendo en cuenta que 100 = 4 x 25, el argumento es válido para 4 (22), 25 (52) y 100 (102). Es decir, un número es divisible por 4, 25 o 100, respectivamente, si, y sólo si, el número formado por los dos dígitos de la derecha del número original, también lo es. Aunque en el caso de 100 lo que quiere decir es que los dos dígitos de la derecha son ceros.

Por ejemplo, el número 4.200 es divisible por 100, luego por todos los divisores de 100, el número 763.475 es divisible por 25, pero no por 100, ni por 4.

Volvamos a que el número 5.316 es divisible por 4, ya que los dos últimos dígitos -16- lo son. Lo curioso es que podemos seguir añadiendo dígitos a la izquierda del número para obtener números más grandes y la divisibilidad por 4 se mantendrá en todos ellos. Así, el número 2.943. 445.316 sigue siendo divisible por 4, ya que la regla estudiada nos dice que solo importan los dos dígitos de la derecha (16).

Reglas de divisibilidad de 3 y 9. Las reglas de divisibilidad del 3 y el 9 suelen ser de las pocas reglas, además de las de 2, 5 y 10, que suelen aprenderse en la escuela.

Mientras que las reglas anteriores implicaban solo a una pequeña parte del número, formado por cierto grupo de dígitos de su parte derecha, en los criterios de divisibilidad que vamos a ver ahora están implicados todos los dígitos del número.

La regla de divisibilidad del 3: un número es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3.

La demostración, haciendo uso de la representación posicional decimal de los números, es también muy sencilla, aunque no vamos a explicarla aquí. Para quienes estéis interesados podéis leerla en un artículo reciente que he publicado sobre el tema en el Cuaderno de Cultura Científica de la UPV.

Veamos si el número del principio, 1.056.475.343, es divisible por 3. No lo es, ya que la suma de sus dígitos es 38, que no es divisible por 3. Por otro lado, el número 197.536.892.361 sí es divisible por 3, ya que a suma de sus dígitos es 60, claramente múltiplo de 3.

Más aún, como la condición que debe cumplir un número para ser divisible por 3 es que la suma de los dígitos del mismo también sea divisible por 3, se puede aplicar de nuevo la regla de divisibilidad a esta última cantidad, si fuese grande. Es decir, tenemos una regla que se puede aplicar de forma recursiva. [Por ejemplo, para saber si el número 794.612.966.663.462.659.937 es divisible por 3, hay que sumar sus dígitos y esa suma es 116, pero a su vez para saber si este es divisible por 3 sumamos sus dígitos 1 + 1 + 6 = 8, cuyo resultado no es divisible por 3, luego tampoco el número enorme anterior.]

Además, el argumento que se ha realizado para el número 3 demuestra lo mismo para el número 9.

La regla de divisibilidad del 9: un número es divisible por 9 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Ya estamos en condiciones de demostrar la propiedad 1 que he mencionado al principio: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

El motivo es que la suma de los dígitos de un número pandigital es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, que es múltiplo de 9, luego cualquier número pandigital es múltiplo de 9, luego no es primo.

Veamos un truco de magia basado en esta idea. Se pide a una persona que piense –y escriba en un papel– un número de cinco o seis dígitos, aunque puede ser otra cantidad de dígitos. Por ejemplo, el número 632.571. Se puede enseñar el número a las demás personas “al resto del público”, pero no a la persona que le hace el truco. Después se le pide que cambie, a su gusto, el orden de los dígitos del número. Por ejemplo, 521.736. Y, además, que reste el mayor del menor, 632.571 – 521.736 = 110.835. A continuación, se le pide que elija uno de los dígitos no nulos del número que ha resultado de la resta. Supongamos que elige el 1. Lo siguiente es que diga en alto el resto de los dígitos y la persona que hace el truco adivinará, por arte de magia, el dígito que falta. La clave está en que el número resultante de la resta, en el ejemplo, 110.835, es siempre divisible por 9 (es sencillo justificar esto utilizando la representación decimal de los números), luego verifica la regla de divisibilidad. Como ha elegido el 1, la suma del resto es 1 + 0 + 8 + 3 + 5 = 17, y aplicando la regla de nuevo 1 + 7 = 8. Como falta 1 para llegar a 9, entonces, ese es el dígito elegido y oculto. 

Las reglas de divisibilidad de los números 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4 y 15 = 3 x 5 son consecuencia inmediata de las reglas anteriores, por ejemplo, un número es divisible por 6 si es divisible por 2y 3, luego:

La regla de divisibilidad del 6: un número es divisible por 6 si, y sólo si, el dígito de las unidades es 2, 4, 6, 8 o 0, y la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Vamos a terminar con las reglas de divisibilidad de 7, 11 y 13, que están relacionadas porque 1001 = 7 x 11 x 13.

La regla de divisibilidad del 11: un número es divisible por 11 si, y sólo si, la suma alternada de sus dígitos (es decir, se va alternando suma y resta) es múltiplo de 11 (incluido el 0).

Veamos algún ejemplo. Empecemos por el número con el que abríamos esta entrada, el 1.056.475.343. Calculemos la suma alternada de sus dígitos 1 – 0 + 5 – 6 + 4 – 7 + 5 – 3 + 4 – 3 = 0, luego es múltiplo de 11. Otro ejemplo sería el número 2.519, cuya suma alternada de sus dígitos es 2 – 5 + 1 – 9 = – 11, luego efectivamente el divisible por 11.

Por este criterio es fácil ver que: Los números capicúas con un número par de dígitos son divisibles por 11.

En los números capicúas con una cantidad par de dígitos, como 327.723, los dígitos que ocupan posiciones impares y pares son los mismos, e igual a los dígitos que están en la derecha y la izquierda del número (posiciones impares desde la izquierda, 3, 7, 2, mientras que en las pares 2, 7, 3), luego la suma alternada es cero, por lo que se cumple la regla de divisibilidad del 11.

La regla de divisibilidad del 7, 11 y 13. Un número es divisible por 7, 11 o 13, resp., si la suma alternada de los grupos de tres dígitos, empezando por la derecha, también lo es.

Por ejemplo, si tomamos la suma alternada de los grupos de tres dígitos del número 5.166.574.959 se obtiene 959 – 574 + 166 – 5 = 546. Como 546 es el producto de 6, 7 y 13, se deduce que el anterior número es divisible por 7 y 13, pero no por 11.

Mateadictos: Un problema difícil

La matemática Miren Andetxaga planteó el siguiente problema a sus estudiantes de matemáticas: si se escriben los números naturales seguidos, en su orden natural y empezando en el 1, es decir, 123456789101112… ¿cuál será la cifra que ocupa la posición 552.715 en esa lista?

Solución: Es la cifra 6. La clave para resolver este problema es conocer cuántos dígitos tienen los números cuando hemos llegado a la posición 552.715. Para ello, razonamos así:

 

A. Los números de un dígito, del 1 al 9, suman un total de 9 dígitos en la lista 123456789.

B. Los números de dos dígitos, del 10 al 99, suman un total de 2 x 90 = 180 dígitos.

C. Los de tres dígitos, del 100 al 999, suman un total de 3 x 900 = 2.700 dígitos.

D. Los de cuatro dígitos, del 1.000 al 9.999, suman un total de 4 x 9.000 = 36.000 dígitos.

E. Los de cinco dígitos, del 10.000 al 99.999, suman un total de 5 x 90.000 = 450.000 dígitos.

F. Los de seis dígitos, del 100.000 al 999.999, suman un total de 6 x 900.000 = 5.400.000 dígitos.

 

Como el listado con todos los números con 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, tiene 9 + 180 + 2.700 + 36.000 + 450.000 = 488.889 dígitos, la cifra que está en la posición 552.715 pertenece a un número de 6 dígitos.

Más aún, restando 552.715 – 488.889 = 63.826, es decir, la cifra buscada está en la posición 63.826 dentro de los números con 6 dígitos. Ahora, dividiendo entre 6 para saber cuántos números de 6 dígitos hemos puesto para llegar a esa posición, tenemos que

63.826 = 10.637 x 6 + 4.

Es decir, la cifra buscada está en el número 10.638 de 6 dígitos, de hecho, es el cuarto dígito (el resto). Luego es el cuarto dígito del número 100.000 + 10.637 = 110.637, es decir, el 6. )

Mateadictos: De viaje por Iparralde

Un joven de Hegoalde decidió viajar a Iparralde para conocerlo. Su idea era visitar durante algunos días cada una de las tres provincias, Lapurdi, Zuberoa y Benafarroa. Antes de salir solamente tenía un poco de dinero, por lo que se llevó la txalaparta para sacar algo de dinero tocando en la calle. En Lapurdi dobló el dinero que tenía inicialmente y gastó 120 euros. En Zuberoa triplicó el dinero que tenía al llegar y gastó 70 euros, mientras que en Benafarroa dobló el dinero que me quedaba y gastó 90 euros. Y al finalizar el viaje solamente le quedaban 10 euros. ¿Cuántos euros tenía al iniciar el viaje?

Solución: Empezó el viaje con x euros, tras pasar por Lapurdi le quedaban 2x – 120, tras Zuberoa 3(2x – 120) – 70, y tras Benafarroa 2[3(2x – 120) – 70] – 90 = 10, despejando x obtenemos x=80 euros.

Mateadictos: en busca de un número

Tenemos en encontrar el menor número tal que al dividirlo por…

i) 2, el resto es 1,
ii) 3, el resto es 2,
iii) 4, el resto es 3,
iv) 5, el resto es 4,
v) 6, el resto es 5,
vi) 7, el resto es 6,
vii) 8, el resto es 7,
viii) 9, el resto es 8.

Solución: Este problema se soluciona cambiando el punto de vista, si al número que buscamos n le sumamos 1, entonces tenemos que las condiciones del problema nos dicen que es divisible por 2,3,4,5,6,7,8,9, luego el mínimo común múltiplo de todos ellos es 9 x 8 x 7 x 5 = 2.520, y nuestro número 2.519

Mateadictos: Las hijas del profesor de matemáticas

Dos profesores (uno de Matemáticas y otro de Literatura) están charlando sobre sus respectivas familias.

– Por cierto, ¿qué edades tienen tus tres hijas?- pregunta el Profesor de Literatura.

– El producto de sus edades es 36, y su suma, casualmente es igual al número de tu casa- contesta el Profesor de Matemáticas.

Tras reflexionar un rato, el Profesor de Literatura dice:

– Me falta un dato.

– Tienes razón –admite el Profesor de Matemáticas-. Me había olvidado decirte que mi hija mayor toca el piano.

Problema, ¿qué edades tienen las tres hijas del profesor?

(nota: las edades de las hijas están comprendidas entre 1 año y 36 años)

Solución: Las edades son 9, 2 y 2 años. El número 36 puede descomponerse en tres factores –las tres edades de las niñas- de la siguiente forma, 1, 1, 36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9; 1, 6, 6; 2, 2, 9; 2, 3, 6; 3, 3, 4. Ahora, puesto que el profesor de literatura, que intenta resolver el acertijo, conoce el número de su propia casa, si estas ocho ternas de números sumaran cantidades distintas, hallaría fácilmente las edades de las niñas, sin más que elegir la terna que sume el número de su casa. Sin embargo, dice que le falta un dato, lo cual se debe a que hay ternas que suman lo mismo. Exactamente, las ternas 1, 6, 6 y 2, 2, 9 suman ambas 13 años, luego ha de ser una de las dos ternas, ya que en caso contrario no le faltarían datos y habría contestado correctamente ya. La aclaración “mi hija mayor toca el piano” nos da la información de que solo hay una hija mayor, por lo tanto, la terna correcta es 2, 2, 9

Novelas gráficas sobre matemáticas (II)

Raul Ibáñez recopila una nueva lista de novelas gráficas muy relacionadas con las matemáticas:

* Habibi, Craig Thompson, Astiberri, 2011.

Craig Thompson es un novelista gráfico imprescindible, autor de dos grandes novelas gráficas Blankets y Habibi.

Habibi (palabra árabe que significa “mi amado”) es una historia de amor entre Dodola y Zam, una niña y un niño destinados a ser esclavos, que se escapan y se esconden en un viejo barco encallado en medio del desierto. Según van creciendo surgirá el amor entre ellos, pero sus vidas se separarán y cada uno pasará muchas penurias hasta que vuelven a encontrase. Es una historia que transcurre en un desierto de algún ficticio lugar de Oriente Medio, en la que se habla sobre la esclavitud, la violencia sexual, el racismo, las tradiciones, la relación de los seres humanos con la naturaleza, la distancia entre el primer y tercer mundo, entre los ricos y los pobres,… en la que el Islam es un elemento muy importante, y su herencia conjunta con el cristianismo, pero también la cultura y lengua árabes, y la tradición de contar historias, al estilo de las mil y una noches, aunque inspiradas en el Corán. Pero si la escritura arábiga integrada en el dibujo o los diseños geométricos árabes son elementos destacados en Habibi, también lo son los cuadrados mágicos, que acompañan al lector a lo largo de toda la novela gráfica.

Los cuadrados mágicos son unos objetos matemáticos que han cautivado a matemáticos y no matemáticos a lo largo de la historia. Se pueden encontrar, normalmente, en libros de divulgación de las matemáticas, de matemática recreativa o incluso de magia. Sobre ellos han investigado grandes matemáticos como Pierre de Fermat o Leonhard Euler, y hasta personalidades como Benjamin Franklin, se atrevieron con ellos. Los cuadrados mágicos ya se conocían desde la antigüedad (quizás más allá del año 2.200 a.n.e.), y se les relacionaba con los planetas y con la alquimia, con la magia y la astrología, con la numerología, y también se utilizaban para sanar o como amuletos.

Craig Thompson se ha documentado muy bien sobre los cuadrados mágicos y los ha integrado de forma magistral a lo largo de toda la historia.

Quienes estéis interesado en conocer más sobre las matemáticas de los cuadrados mágicos que aparecen en Habibi, podéis leer tres entradas que hice en el Cuaderno de Cultura Científica, Habibi y los cuadrados mágicos.

 

Ken Games, No es bueno decir toda la verdad, José Manuel Robledo (guionista), Marcial Toledano (dibujante), Diábolo, 2009-2010. (volumen 1: Pierre, 2009; volumen 2: Feuille, 2009; volumen 3: Ciseaux, 2010)

Los tres protagonistas de la historia de Ken Games son Pierre Fermat, Thierry-Jean Feuille y Anne Parilou (Ciseaux), que además son los narradores en cada uno de los tres volúmenes de la serie, cuyas historias se van contando en paralelo a lo largo de cada uno de ellos.

Aparentemente, los dos primeros son matemáticos, Pierre tiene una beca para investigar en el campo del álgebra y Thierry-Jean trabaja en un banco, mientras que Anne es Licenciada en Literatura y Filosofía, pero trabaja como maestra de primaria. Aunque, los tres mienten. Pierre es boxeador, Thierry-Jean jugador de póquer y Anne (Ciseaux) asesina a sueldo.

El narrador del primer volumen, cuyo título es Pierre, es naturalmente Pierre Fermat. Este volumen comienza con un combate de Pierre, apodado en el mundo del boxeo “Pierre el matemático”, quien utiliza las probabilidades para ganar los combates.

Mientras Pierre de Fermat estudiaba la licenciatura de matemáticas, su padre enfermó y este no tuvo más remedio que abandonar sus estudios. Sin embargo, mantuvo a todo su entorno, en particular, a su padre y a su mejor amigo, en la mentira de que seguía estudiando… presentándose a los exámenes, licenciándose y ganando una beca de investigación en el campo del álgebra. Poco a poco, para despejarse de la presión de cuidar a su padre enfermo, Pierre fue acercándose al mundo del boxeo.

Thierry-Jules Feuille, TJ, que es el mejor amigo de Pierre Fermat y que le conoció mientras estudiaban matemáticas, presenta a Pierre ante su novia, Anne, como “una especie de Euler, de esos matemáticos que directamente “ven” las cosas. En segundo ciclo optó por la rama de las matemáticas fundamentales”, y cuando Anne pregunta qué es eso, el propio Fermat, explica “Álgebra abstracta, Geometría algebraica, últimas tendencias en matemáticas, en quinto me especialicé en las matemáticas de la no linealidad”.

Thierry-Jules se especializó en “probabilidad, estadística y contabilidad” y aparentemente acabó trabajando en un banco y ganando mucho dinero. Sin embargo, su profesión de verdad es ser jugador profesional de póquer, para la cual tiene madera.

 

La conjetura de Poincaré, Raule (guionista), Jose María Martín Sauri (dibujante), Diábolo, 200

Raule, a quien muchas personas conocerán por su excelente serie de novelas gráficas Jazz Maynard, decide escribir una historia sobre un matemático que intenta demostrar la conjetura de Poincaré.

La conjetura de Poincaré, que tuvo una gran repercusión mediática en 2006, cuando se le concedió la Medalla Fields al matemático ruso Grigory Perelman por su demostración de la misma, pero que acabo rechazando. Perelman y la conjetura de Poincaré volvieron a los medios de comunicación cuando también rechazó el premio metálico, un millón de dólares, del Instituto Clay de Matemáticas por haber resuelto uno de los 7 Problemas del Milenio.

La conjetura de Poincaré es un problema complejo de topología. Resulta que, si pensamos en superficies del espacio tridimensional, la única superficie “cerrada” y “simplemente conexa” (esto quiere decir algo así como que todo lazo sobre ella se puede cerrar), es la esfera (topológicamente hablando, es decir, si aplastamos un poco una esfera, sigue siendo topológicamente una esfera). Pues la conjetura de Poincaré era este mismo resultado, pero para dimensión 3… es decir, todo espacio geométrico de dimensión 3, cerrado y simplemente conexo es una esfera de dimensión 3.

El protagonista de esta novela gráfica es un joven matemático que para aislarse del mundo con el objetivo de demostrar la conjetura de Poincaré se va a trabajar a un faro que está situado en una isla desierta. Una vez en la misma empezarán a ocurrir una serie de extraños acontecimientos, que empiezan con la destrucción del helicóptero que lo ha llevado a la isla. La situación nos recuerda un poco a la del personaje matemático de Dustin Hoffman en la película Perros de Paja. En paralelo a la trama de la novela gráfica, el matemático continuará con sus intentos de probar la famosa conjetura… ¿lo conseguirá?

 

El número 73304-23-4153-6-96-8, Thomas Ott, Ediciones la cúpula, 2008.

El arte del historietista Thomas Ott es muy particular. Realiza sus novelas gráficas utilizando la técnica “Carte a gratter”, algo así como “tarjeta raspada”, creando un dibujo muy peculiar en blanco y negro, que va muy bien con las historias oscuras que nos narra este artista. Además, la historia no tiene texto, salvo el que pueda aparecer en los propios dibujos.

Nos cuenta una de esas historias negras de las clásicas, con los típicos ingredientes, la cárcel, la silla eléctrica, el verdugo, un oscuro bar, un casino, la ruleta rusa, una mujer fatal, mucha pasta, la casa de empeños, una pistola, una navaja, lugares oscuros de la ciudad, etc.

En el primer dibujo son unos dedos sujetando un papelito que contiene el número (o números) del título… 73304-23-4153-6-96-8. Es la mano de un recluso que va a morir en la silla eléctrica. Tras ser ejecutado el papelito quedará caído al lado de la silla eléctrica y lo recogerá el funcionario que se encarga de la ejecución. Esos números marcarán su vida a partir de ese momento… éxito y fracaso…  ¿puede el destino de una persona estar marcado por una serie de números?

No desvelemos más de la historia. Solo un detalle matemático más, la banda de Moebius (recordemos que es una superficie con una única cara, que es una banda retorcida) como símbolo del cambio de fortuna en la vida del protagonista, de la buena a la mala fortuna. La banda de Moebius aparece en nombre (el grupo que toca en el bar el The Dr Moebius Octet y aparece un dibujo de la misma en el escaparate de la casa de empeños). 

 

El vendedor de estropajos, Fred Vargas (guionista), Edmond Baudoin (dibujante), Astiberri, 2011. 

Esta es una historia (basada en el relato corto “Cinco francos unidad” de Fred Vargas) del comisario Adamsberg, uno de los detectives creados por la escritora francesa.

En la misma, el testigo de un crimen es un vagabundo llamado “Pi” y que es “bueno con los números”. De hecho, en la presentación del personaje nos hace un pequeño cálculo… dispone de 9.732 estropajos para vender, pero en cuatro meses ha vendido solo 512, luego “A ese paso necesitaría 2.150,3 días para vaciar la nave [donde se almacenan]. Es decir, seis años coma diecisiete arrastrando el asno [su carrito de supermercado]”. (*)

Al vagabundo, cuyo nombre es “Pi”, le llamaban en la escuela, cuando era niño, “3,14”. Además, está obsesionado con el número pi, su definición y el perímetro de las circunferencias, cuyo cálculo se realiza a partir de pi. De hecho, es bueno estimando a ojo el perímetro de diferentes circunferencias. Además, el comisario Adamsberg, teniendo en cuenta esto decide poner a la víctima, para ocultar su identidad, el seudónimo de 421, en alusión al juego, que se juega con tres dados, de dados llamado “421”.

 

Las Tierras Huecas: Zara y Nogegon, Luc Schuiten, François Schuiten, Norma. (se publicó, por primera vez, en francés en 1990)

Debemos empezar señalando que la idea inicial de esta serie, Las Tierras Huecas, es una idea muy interesante. Se trata de analizar, desde la ficción del cómic, cómo afectaría a un planeta el hecho de que fuese hueco.

Recomiendo toda la serie, pero hoy nos vamos a centrar en el tercer libro de la misma, NogegoN, en el cual la simetría es muy importante. La historia, como vamos a comentar más adelante, es un palíndromo, pero también muchos elementos de la misma. Por ejemplo, los nombres de las ciudades –como Dramard o Radar-, los nombres de los personajes de la misma –como las protagonistas Nellen y Olivio- o los barrios -44, 1771, 1221,…- son palíndromos, pero también la vida de los habitantes de este mundo, que están destinados a repetir su vida en sentido inverso. Pero la propia estructura del cómic es un palíndromo, cada página A tiene una simétrica A’, respecto al centro, con unas características que recogen esa idea de simetría. Y la historia misma es esencialmente, no solo estructuralmente, palindrómica, produciéndose en la segunda parte acciones en un sentido inverso de la segunda parte (por ejemplo, si un personaje se ríe en una viñeta de la primera parte, puede estar llorando en la viñeta simétrica de la segunda parte). El escritor y profesor jubilado de la UPV/EHU, Antonio Altarriba tiene un interesante análisis de esta obra.

Mateadictos: plegando papeles

Como yo siempre pongo problemas en el programa, Eva ha decidido ponerme uno a mí. Ella suele tomar notas en unos pequeños papeles rectangulares, de tamaño 8,5 cm de ancho y 11 cm de alto, entonces me ha mostrado uno de esos papeles doblados y me ha pedido que calcule cuanto mide la doblez (el segmento AB en el dibujo que acompaña al problema), sin medir, solo teniendo en cuenta el valor de los segmentos que ella me ha proporcionado y que incluyo en el siguiente dibujo (1,38 cm, 3,82 cm y 10,16 cm).

 

La solución es 11,57 cm. Para obtenerla hay que hacer uso del teorema de Pitágoras. Empezamos con el triángulo rectángulo pequeño, que tiene a B como uno de sus vértices, su hipotenusa en 1,38 cm y uno de sus catetos es 11 – 10,6 = 0,84 cm, luego aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos el otro cateto, que es la raíz cuadrada de (1,38)2 – (0,84)2 = 1,1988, que es, más o menos, 1,09 cm.


Ahora vayamos al triángulo grande, que tiene como hipotenusa el segmento buscado, AB. Uno de sus catetos es el lado del papel, 11 cm, y el otro se calcula fácilmente, con la anterior información, es 8,5 – 3,83 – 1,09 = 3,58 cm. Y uno de los catetos es el lado del papel, 11 cm, luego por el teorema de Pitágoras, el otro es la raíz cuadrada de 112 + (3,58)2 = 133,8164, es decir, aproximadamente11,57 cm.)

 

La leyenda del origen del ajedrez y varios juegos de ingenio

Se desconoce cuál es el origen del ajedrez. Sabemos que fue introducido en Europa por los árabes, que lo habían aprendido de los persas, pero a ellos les pudo llegar tanto de la India, como de China. Su origen, tan remoto en el tiempo, ha propiciado que existan muchas leyendas, una de ellas relacionada con las matemáticas. En esta, se atribuye su invención al brahmán hindú Sissa ben Dahir, que presentó el juego al rey Shirham de la India.

Al hilo de esta leyenda, Raul Ibáñez nos propone varios retos de ingenio:

Problema 1: Dado un tablero de ajedrez, 8 x 8, del que eliminamos dos casillas opuestas de las esquinas (por ejemplo, pongamos en ellas dos peones), ¿es posible recubrir este tablero con fichas de dominó (suponiendo que estas fichas tienen el tamaño de dos casillas)?

(Nota: Este problema es de los que no tiene solución, pero ¿por qué?)

 

Problema 2: Si se consideran ahora triominós, que son fichas con tres casillas, pero en forma de L. No puede rellenarse el tablero 8 x 8 con estas fichas, puesto que 64 no es divisible por 3. Sin embargo, si eliminamos una casilla del tablero (por ejemplo, poniendo un peón), ¿será posible recubrir este tablero? (Nota: este problema se puede pensar con tableros de otros tamaños, m, donde m2 – 1 sea divisible por 3)

 

Problema 3 (el recorrido del caballo): Utilizando la pieza del caballo, con su particular movimiento en el ajedrez, realizar un recorrido por todas las casillas del tablero, sin repetir casilla. (Nota: se puede proponer el problema para tableros rectangulares de diferentes tamaños)

 

Problema 4 (las ocho reinas en el tablero de ajedrez): Colocar ocho reinas en el tablero de ajedrez de manera que ninguna de las reinas se vea amenazada por las otras siete. (Nota: se puede hacer con tableros de lado n, con n reinas, para n más pequeños, e incluso más grandes. Yo empezaría por n = 2*, 3*, 4, 5…)

 

Mateadictos: el número 45

 

El número 45 tiene algunas propiedades curiosas. Entre otras, puede dividirse en cuatro partes, de tal manera que, si se añade 2 a la primera, se resta dos a la segunda, se multiplica la tercera por 2 o se divide la cuarta por 2, se obtiene siempre el mismo resultado. ¿Cuáles son esas cuatro partes en las que se divide el número 45 de esta forma?

 

Solución:

8 + 12 + 5 + 20 = 45, ya que 8 + 2 = 12 – 2 = 2 x 5 = 20 / 2 = 10