La solución de Raul:
Mikel (8 euros) + Izaskun (1 euro);
Iker (12) + Ana (9);
Enrique (32) + Miren (31).
Si llamamos x a los euros que costó un objeto comprado por uno de los maridos, entonces este gastó x2 euros – x ejemplares de un objeto que cuesta x euros- y si su esposa compró un objeto de y euros se gastó y2 euros. Como la diferencia es 63, entonces, x2 – y2 = 63. Teniendo en cuenta los productos notables, (x – y)(x + y) = 63. Teniendo en cuenta los divisores de 63 tenemos las siguientes posibilidades:
La diferencia de 23 euros se obtiene entre 32, que sería Enrique, y 9, que sería Ana, mientras que la de 11 se obtiene con 12 (Iker) y 1 (Izaskun). El único hombre que falta sería Mikel, 8 euros, y la única mujer Miren, 31 euros.
Y las parejas son como indica el cuadro: Mikel (8 euros) + Izaskun (1 euro); Iker (12) + Ana (9); Enrique (32) + Miren (31))
La solución de Gregorio Ugartemendia (que se lleva el premio de esta semana):
Que se compren tantos ejemplares como euros vale cada uno nos está diciendo que estamos buscando cuadrados de números de tal forma que N x N = L + 63
L L+63 Suma N
1 (1×1) +63 64 = 8 x 8
2 (2×2) +63 67
3 (3×3) +63 72
4 (4×4) +63 79
5 (5×5) +63 88
6 (6×6) +63 99
7 (7×7) +63 112
8 (8×8) +63 127
9 (9×9) +63 144 = 12×12
10 (10×10) +63 163
11 (11×11)+63 184
12 (12×12)+63 207
(…)
31 (31×31)+63=1024 = 32×32
L x L = N x N + 63 —> L = RAIZ(N x N + 63) ===> N=1,8,31
Por tanto, (8, 1), (12, 9) y (32, 31) (( (64,1), (144,81) y (1024,961) ))
El recuerdo de Enrique costó 23 más que el de Ana ===> 23+9=32 ===> Ana=== 9
El recuerdo de Iker costó 11 más que el de Izaskun ===> 11+1=12 ===> Izaskun === 1
Por tanto, (8, 1), (12, 9) y (32, 31)
Mikel, I Iker Ana E Miren
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Como cada persona compra tantos ejemplares como euros cuesta el objeto, cada uno gasta un número cuadrado perfecto de euros.
El marido gasta 63 € más que su mujer, entonces si el marido gasta x^2 € y la mujer y^2 € tenemos que
x^2-y^2=63=3*3*7.
x^2-y^2=(x+y)*(x-y)
Como x e y son números enteros (el número de ejemplares que compran) las únicas soluciones son:
(x+y)(x-y)=63*1, entonces x=32 y=31
(x+y)(x-y)=21*3, entonces x=12 y=9
(x+y)(x-y)=9*7, entonces x=8 y =1.
Para que se cumplan las condiciones del enunciado, el recuerdo de Enrique cuesta 32 € y el de Ana 9 €, el de Iker 12 € y el de Izaskun 1 €.
Completando el resto:
El recuerdo de Mikel costó 8 €.
Miren compró 31 ejemplares.
La parejas son: Enrique-Miren, Iker-Ana, Mikel-Izaskun.
Llamamos X al número y precio objetos marido
Llamamos Y al número y precio objetos mujer
(X+Y)(X-Y)=63
Descomponiendo en factores:
63*1
21*3
9*7
Resolviendo: X+Y=63
X-Y=1 X=32; Y=31 y haciendo lo mismo con las otras dos opciones:
X=12; Y=9
X=8; Y=1
Para que al restar nos dé 23 y 11 las parejas serían:
Enrique y Miren.......32+31
Iker y Ana..................12+9
Mikel y Izaskun.........8+1