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• Hay 2 soluciones, 5x12 y 6x8.
  Se parte de 2x+2(y-2)=(x-2)(y-2), despejando la x y dando valores enteros a la y superiores a 4.

• Hola,

  Plantenado las ecuaciones:
  nº cuadrados blancos = área del rectángulo interior = (a-2)(b-2)
  nº cuadrados grises = perímetro exterior = 2 (a+b-2)
  y que tienen que ser iguales sale
  a=(4b-8)/(b-4) (conocemos que a y b tienen que ser enteros y positivos)

  sólo aparecen las posibilidades siguientes:
  a=12 y b = 5
  a= 8 y b = 6
  a=6 y b = 8
  a =5 y b=12

  Un saludo,

  Un saludo,

• Si el rectángulo interior (blanco) tiene x e y cuadros de lado, es decir, está formado por xy parches, siendo x e y números naturales, entonces hay 2x+2y+4 parches grises alrededor. Queremos que ambas cantidades sean iguales, es decir,

  xy = 2(x+y+2)

  Como el lado derecho es múltiplo de 2, al menos uno de {x,y} debe ser par. Suponemos que x es par y escribimos x=2n, siendo n un número natural. Entonces, la ecuación anterior queda como

  ny = 2n+y+2

  y de aquí

  y = 2(n+1)/(n-1) = 2 + 4/(n-1)

  Como y ha de ser un número natural, n sólo puede tomar dos valores, 2 o 3. Si n=2, entonces y=6, x=4. Mientras que si n=3, entonces y=4, x=6. Vemos que ambas soluciones numéricas corresponden a una misma solución al problema (sólo difieren en una rotación del tapiz grande).

  Por tanto, el problema tiene una única solución, siendo ésta un tapiz de 6 y 8 cuadrados de lado con 24 cuadrados de cada color.

• 2x+2y-4=(x-2)(y-2)
  y=4(x-2)/x-4)
  Es posible de dos formas:
  Un tapiz de 5 y 12 cuadrados de lado para lo que utilizaría 30 cuadrados de cada color y
  un tapiz de 6 y 8 cuadrados de lado para lo que utilizaría 24 cuadrados de cada color.