Números amigos, sociables, perfectos, narcisistas… y un nuevo reto matemático

c203716f98f65e0366d9a94119b6da09¿Puede haber números que sean amigos, sociables, perfectos, narcisistas, hambrientos, ambiciosos, curiosos, malvados, vampiros, felices, afortunados, intocables o incluso raros? Este tema es la última propuesta de Raul Ibáñez en nuestra sección de matemáticas.

Números amigos

Quienes hayáis leído el magnífico libro La fórmula preferida del profesor (funambulista, 20) de la escritora japonesa Yoko Ogawa, quizás recordéis que uno de los personajes principales, el profesor, le explica a otro de los personajes principales, la asistenta, que los números 220 y 284 son números amigos.

Veámoslo, tomemos por ejemplo el número el número 284, que se puede escribir como la multiplicación de los números primos 71 y 2 de la siguiente forma… 284 = 71 x 2 x 2 = 71 x 2 al cuadrado. Así, es fácil de calcular que los divisores del número 284 (sin contar el propio número), son {1, 2, 4, 71, 142}, cuya suma es

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Si ahora cogemos el número que nos ha salido, 220, y buscamos sus divisores, como 220 = 11 x 5 x 2 x 2, entonces estos son {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110}, y la suma de estos es
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
precisamente el primer número. Por este motivo, se dice que los números 220 y 284 son números amigos. Es decir, dos números son amigos si la suma de los divisores del primero (sin contar al número) es igual al segundo, y viceversa.

Este par de números amigos (220, 284) ya era conocido por los pitagóricos, quienes les atribuían propiedades místicas. En general, en la antigüedad se pensaba que estos números tenían poderes místicos, y eran utilizados en textos religiosos y de magia, en particular, en relación al amor y la amistad. Los astrónomos griegos los incorporaron en sus horóscopos, talismanes y amuletos.

Cuenta una leyenda que había un sultán aficionado a los puzzles, que al descubrir que tenía a un matemático como prisionero, decidió plantearle la siguiente cuestión. El sultán le dijo al matemático que le planteara un reto, un problema, y que estaría libre durante el tiempo que él necesitara para resolverlo, pero una vez resuelto por el sultán, el matemático sería ejecutado.

El matemático le explicó que los números 220 y 284 son números amigos, y le planteó que buscara otro par de números amigos. El sultán no lo consiguió y el matemático murió de viejo y siendo un hombre libre.

De hecho, calcular más pares de números amigos no es una tarea sencilla. Muchos matemáticos árabes estudiaron los números amigos, entre los siglos IX y XIV, como el iraquí Thabit ibn Qurra quien dio una fórmula para obtener números amigos. En particular, se obtuvieron dos nuevos pares de números amigos

(17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056).

En el siglo XVII los grandes matemáticos Pierre de Fermat y René Descartes redescubrieron la fórmula del matemático árabe, así como los dos anteriores pares de números amigos, que es ocasiones son atribuidos a ellos.

Otro gran matemático, Leonhard Euler (siglo XVIII) extendió la fórmula de Qurra y obtuvo 64 nuevos pares de números amigos.

Curiosamente, a todos ellos se les pasó el siguiente par de números amigos más pequeño, después de (220, 284), el par (1.184, 1.210), descubierto por el adolescente Nicolo Paganini, del 16 años, en 1866.

La tarea siguió siendo compleja y hasta 1946 solo se consiguieron descubrir 390 pares de números amigos, hasta que llegó la era de los ordenadores, y su potencia de cálculo, que junto a nuevos algoritmos, ha permitido calcular (según la wikipedia) hasta 2007 del orden de 12 millones de parejas. Sin embargo, no se sabe si existen infinitos pares de números amigos.

Números sociables

Pero la propiedad de los números la podemos extender a una cantidad mayor de números, con lo que obtenemos lo que se conoce como números sociables. Los números sociables, o una secuencia de números sociables, está formada por una cantidad finita de números de forma que la suma de los divisores del primer número es igual al segundo, la suma de los divisores de este igual al tercero, y así hasta el último número, cuya suma de divisores es igual al primero de los números, cerrando el ciclo. Este es un concepto bastante reciente, las dos primeras secuencias de números sociables las obtuvo el matemático belga Paul Paulet en 1918.

Una de ellas es…
12.496 → 14.288 → 15.472 → 14.536 → 14.264 → 12.496
formada por 5 números (5 conexiones), y en la que podéis comprobar que se cumple la propiedad de tipo amistoso. La otra secuencia tenía 28 números, que sigue siendo la secuencia más larga de números sociables, hasta la fecha. Además, la anterior es de solo 9 números.

Números perfectos

28Pero también hay números que son amigos de sí mismos, a estos se les llama números perfectos. Es decir, los números perfectos son aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores, por ejemplo, el 6 es un números perfecto (6 = 1 + 2 + 3) y también el 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Se los denominó “perfectos” porque en tiempos antiguos se dio a esta propiedad una interpretación divina.

En el libro La ciudad de Dios, de San Agustín, se menciona que Dios creó el mundo en 6 días, por lo que este es un número perfecto, al igual que el 28, que son los días que tarda la Luna en dar la vuelta alrededor de la Tierra.

Huygens, que como discípulo de Descartes estaba muy interesado en las propiedades de los números, explicó que en el sistema copernicano hay 6 planetas primarios (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) y, tras el descubrimiento de la luna de Saturno, también 6 planetas secundarios (la Luna, cuatro satélites de Júpiter y uno de Saturno); y que como había una simetría perfecta entre planetas primarios y secundarios, ambos en relación con el número 6, no buscó más satélites…

No está claro el origen de los números perfectos. Al igual que con los números amigos, los perfectos fueron estudiados por los pitagóricos, quienes de nuevo los asociaron con propiedades místicas. Pero según algunos estudios, podrían tener su origen en Egipto.

Los siguientes números perfectos, después de 6 y 28, son

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 248
8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.084

Estos cuatro primeros número perfectos aparecen citados en la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (siglo I). Euclides, en sus Elementos, ya estudió esta interesante propiedad, y demostró que para determinados valores de n (en particular, tenía que ser un número primo –recordemos que son los que solo se dividen por ellos mismos y por 1, así 5, 7, 11 son primos, pero no 4, 9, 12-), los números de la forma 2 elevado a n-1 (2 elevado a n – 1) son perfectos. De hecho así son los cuatro primeros números perfectos (para n = 2, 3, 5 y 7). Y Euler, dos milenios después, demostraría que todos los números perfectos pares son de esa forma, con 2 elevado a n-1 siendo un número primo. Así se fue avanzando en la búsqueda de números perfectos… el quinto (33.550.336, para n = 13) aparece en un manuscrito del siglo XV, el sexto y séptimo –para n = 17 y 19- fueron descubiertos por Cataldi en 1588, y Euler, en 1772, descubrió el octavo, que es 2 elevado a 30 (2 elevado a 31-1)…

Hoy en día se siguen encontrando números perfectos con esta técnica y la ayuda del ordenador. Hasta la fecha se conocen 48 números perfectos… el más grande es 257.885.160 × (257.885.161−1) con 34.850.340 dígitos.

[ojo, no basta tomar n primo, por ejemplo, para n = 11, resulta que 211-1 = 2.047 = 23 x 89, no es primo, y no obtenemos un número perfecto]

Todos los números perfectos conocidos son pares, y no se sabe si existen impares. Solo se sabe que de existir tendrían que cumplir una serie de propiedades… por ejemplo, debe de tener al menos 9 divisores primos distintos o ser mayor que 101.500, etc.

Nicómaco, en su Arithmetica, ya definía, en relación con los números perfectos, los números abundantes y deficientes.

Están los números abundantes, que son aquellos, como el 12, que son menores que la suma de sus factores (excluyéndose ellos mismos), así 12 es menor que 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Otro ejemplo es el 24, cuyos factores 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 suman 36, que es mayor que 24.

Hay 21 números abundantes menores de 100 y todos son pares. Por cierto, que todas las potencias de números abundantes, siguen siéndolo.

Por el contrario, se dice que un número es deficiente si no es abundante, ni perfecto, y por ejemplo, los números primos lo son.

Los números narcisistas

153Se dice que un número es narcisista si es igual a la suma de las potencias de sus cifras elevadas a la cantidad de cifras del número. Así, el número narcisista más pequeño es 153, que tiene 3 cifras y 1 elevado a 3 + 5 elevado a 3 + 3 elevado a 3 = 153. Los dos siguientes son 370 y 371, y uno más largo sería… 4.679.307.774. A estos números también se les conoce con los nombres de… números enamorados de sí mismos o números de Armstrong. El número narcisista más grande que se conoce tiene 39 dígitos.

¿Para qué sirven estos números? El matemático inglés Godfrey Hardy (1877-1947), autor del libro Apología de un matemático, dijo “solamente hay cuatro números, aparte de la unidad, que son la suma de los cubos de sus dígitos… Se trata de hechos curiosos, muy adecuados para la columnas de acertijos y que desde luego entretienen a los aficionados, pero no hay nada en ellos que despierte la atención del matemático”.

Esto es relativamente cierto. No se conocen aplicaciones prácticas de algunas de las familias de números que estamos mencionando, pero por una parte sirven como un ejercicio de entretenimiento, para retar nuestra capacidad intelectual y para conocer mejor a los números, tan importantes en nuestra vida… quizás en el futuro existan aplicaciones de estos números, pero aunque no sea así, son interesantes.


lilavatiProblema (Otro problema del Lilavati):

“Nuestro amado Dios Shiva recurre a estas diez armas:
trampas, arpones, serpientes, mazas, garrotes, cayados,
dardos, lanzas, flechas, arcos,
y una a una las sostiene en cada una de sus manos.
¿Cuántas estatuas distintas existen del Dios Shiva?
¿de cuantas formas distintas nuestro amado Dios Visnú
sostiene sus cuatro objetos: caracola, disco, mazo
y el tan apreciable loto?”

 Solución:
Estatuas distintas del Dios Shiva 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800
Estatuas de Visnú 4! = 4.3.2.1 = 24)

 

Recomendación literaria: John Allen Paulos, La vida es matemática (las ecuaciones que explican los avatares de nuestra biografía), Tusquets, 2015.

6 thoughts on “Números amigos, sociables, perfectos, narcisistas… y un nuevo reto matemático

  1. Cristóbal Vila

    A lo mejor es que hay algo que no he entendido, pero yo diría que esto no es demasiado correcto:
    En el tercer párrafo se lee: “284 = 71 x 2 x2 = 71 x 22”
    — Y bueno, 71 x 2 x 2 efectivamente nos da 284
    — Pero 71 x 22 nos da 1562, que es un poco diferente de 284

    Responder
  2. ValeroASM

    He visto esto:
    Así, el número narcisista más pequeño es 153, que tiene 3 cifras y 13 + 53 + 33 = 153.
    Hay que usar el símbolo de elevara a una potencia para evitar estas confusiones, lo correcto sería:
    1^3 + 5^3 + 3^3 = 153

    Responder
  3. Javier D.

    Me ha gustado mucho el artículo. Muy interesante.
    Creo que lo voy a enlazar en unos apuntes que estoy haciendo…
    ¡Muchas gracias!

    Responder
  4. Jose Luis

    Gracias por el artíiculo. Me gustó mucho. Pdrías decirme si este tipode numeros tiene un nombre especial:

    2 ^ 4 = 16
    4 ^ 2 = 16

    en general:

    a ^ n = n ^ a

    existirán más números como estos?

    Responder

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *