Imaginemos que tenemos un trozo de madera formado por 5 cuadrados de madera pegados (tres en la primera fila y dos en la segunda), como mostramos en la imagen. ¿Cómo realizar dos cortes rectos a nuestra pieza de madera para poder construir un cuadrado de madera con las tres piezas que quedan tras el corte?

Solución:

Tres matrimonios (mixtos) suelen ir siempre juntos de viaje de vacaciones. En el último viaje entraron a una tienda para comprar algunos recuerdos. Cada uno de los 6 compró un solo objeto, pero compró tantos ejemplares de ese objeto como euros costaba el mismo. Al final se dio la curiosa circunstancia de que cada marido gastó 63 euros más que su mujer. El recuerdo de Enrique costó 23 euros más que el de Ana, y el de Iker 11 más que el de Izaskun. ¿Cuánto costó el recuerdo de Mikel? ¿Cuántos ejemplares compró Miren? ¿Qué pareja forma cada matrimonio?

 La solución de Raul:

Mikel (8 euros) + Izaskun (1 euro);
Iker (12) + Ana (9);
Enrique (32) + Miren (31).

Si llamamos x a los euros que costó un objeto comprado por uno de los maridos, entonces este gastó x² euros – x ejemplares de un objeto que cuesta x euros- y si su esposa compró un objeto de y euros se gastó y² euros. Como la diferencia es 63, entonces, x² – y² = 63. Teniendo en cuenta los productos notables, (x – y)(x + y) = 63. Teniendo en cuenta los divisores de 63 tenemos las siguientes posibilidades:

La diferencia de 23 euros se obtiene entre 32, que sería Enrique, y 9, que sería Ana, mientras que la de 11 se obtiene con 12 (Iker) y 1 (Izaskun). El único hombre que falta sería Mikel, 8 euros, y la única mujer Miren, 31 euros.

Y las parejas son como indica el cuadro: Mikel (8 euros) + Izaskun (1 euro); Iker (12) + Ana (9); Enrique (32) + Miren (31))

La solución de Gregorio Ugartemendia (que se lleva el premio de esta semana):

Que se compren tantos ejemplares como euros vale cada uno nos está diciendo que estamos buscando cuadrados de números de tal forma que N x N = L + 63

L L+63 Suma N

1 (1×1) +63 64 = 8 x 8
2 (2×2) +63 67
3 (3×3) +63 72
4 (4×4) +63 79
5 (5×5) +63 88
6 (6×6) +63 99
7 (7×7) +63 112
8 (8×8) +63 127
9 (9×9) +63 144 = 12×12
10 (10×10) +63 163
11 (11×11)+63 184
12 (12×12)+63 207

(…)
31 (31×31)+63=1024 = 32×32

L x L = N x N + 63 —> L = RAIZ(N x N + 63) ===> N=1,8,31

Por tanto, (8, 1), (12, 9) y (32, 31) (( (64,1), (144,81) y (1024,961) ))

El recuerdo de Enrique costó 23 más que el de Ana ===> 23+9=32 ===> Ana=== 9
El recuerdo de Iker costó 11 más que el de Izaskun ===> 11+1=12 ===> Izaskun === 1
Por tanto, (8, 1), (12, 9) y (32, 31)
Mikel, I Iker Ana E Miren

¿Cuánto dinero tengo en la mano si os digo que si tuviera 4 euros más y 4 céntimos menos, tendría el triple de lo que tengo ahora?

Solución:

1 euro y 98 céntimos. Si tengo A euros y B céntimos, expresado en céntimos tengo (100A + B) céntimos. Luego la condición del problema puede expresarse en céntimos como 100 (A + 4) + (B – 4) = 3 (100A + B). Simplificando se obtiene que 100A + B = 198, luego A = 1 y B = 98, es decir, 1 euro y 98 céntimos

Solución: 3,9 euros. Según la frutera el peso de las naranjas es “3/5 de su propio peso + 3/5 de un kilo”, luego 2/5 del peso es igual a 3/5 de un kilo, en conclusión, el peso de las naranjas es 3/2 de un kilo, es decir, 1,5 kilos. Como el precio de las naranjas es 2,6 euros/kilo, entonces pagué 3,9 euros