¿Cuál es la suma de todos los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000?
(Nota: puede obtenerse una fórmula, similar a la de la anécdota de Gauss en la escuela, de la suma de los n primeros números)
Solución: 35.392. Los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000 son 112, 126, 140, …, 980, 994, que son 14 x 8, 14 x 9, 14 x 10, … , 14 x 70, 14 x 71. La suma es por tanto igual a 14 multiplicado por la suma de los números consecutivos, entre 8 y 71, 8 + 9 + 10 + … + 70 + 71. Esta suma, teniendo en cuenta que la suma de los simétricos respecto al centro siempre es 79 = 8 + 71 = 9 + 70 =…, es igual a [8 + 71] x [71 – 8 + 1] / 2 = 2.528. Ahora, si lo multiplicamos por 14, obtenemos 35.392
Hay un montón de cubos en el suelo de una habitación, por ejemplo, 24 cubos, que hay que colocar formando una única torre vertical. ¿Cuál será la mejor estrategia para hacerlo? ¿Apilarlos de uno en uno, o quizás hacer primero dos grupos de 12, y después juntarlos, o hacer torres de cuatro cubos y luego juntarlas? … ¿Cuál será la mejor estrategia?
Solución:
Da igual cómo lo hagamos, siempre se necesitan 23 movimientos para apilar todos los cubos, puesto que en cada movimiento que hagamos, da igual cual sea este, se reduce en un montón el número de montones existentes)
Las edades de mi hermana y la mía están representadas por las dos mismas cifras, pero colocadas en orden opuesto. Yo soy el mayor y la suma de nuestras edades es once veces la resta de las mismas. ¿Cuáles son las edades de mi hermana y la mía?
Solución:
Mi edad es 54 y la de mi hermana 45. Si mi edad es ab, es decir, (a x10 + b), la edad de mi hermana es ba, esto es, (b x10 + a). Por lo tanto, la suma es 11x(a + b), la resta 9x(a – b) y la hipótesis del problema nos dice que 11x(a + b) = 11x9x(a – b). Luego, a + b = 9 y a – b =1, o sea, a = 5 y b = 4.
Se trata de colocar los signos aritméticos de la suma (+), la resta (–), la multiplicación (x) y la división (/), así como corchetes si es necesario, entre los números, de izquierda a derecha, 10, 9, 8, así hasta 3, 2, 1, y cuyo resultado nos dé el número 2020…
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2020
Solución:
Este problema tiene varias soluciones, entre ellas ésta… que me parece bonita por su sencillez…
10 x 9 x 8 + (7 + 6) x 5 x 4 x (3 + 2) x 1 = 2020)
Se considera una cuadrícula formada por 8 líneas horizontales y 8 verticales. Se nombran algunos de los vértices con letras, dos vértices A, B, C, D y E, como aparece en la imagen. El problema consiste en trazar caminos, sobre las líneas de la retícula, que unan los puntos de igual nombre entre sí (A con A, B con B, C con C, D con D y E con E), de forma que los caminos no se toquen entre sí.
Solución:
Raul Ibáñez recopila una nueva lista de novelas gráficas muy relacionadas con las matemáticas:
* Habibi, Craig Thompson, Astiberri, 2011.
Craig Thompson es un novelista gráfico imprescindible, autor de dos grandes novelas gráficas Blankets y Habibi.
Habibi (palabra árabe que significa “mi amado”) es una historia de amor entre Dodola y Zam, una niña y un niño destinados a ser esclavos, que se escapan y se esconden en un viejo barco encallado en medio del desierto. Según van creciendo surgirá el amor entre ellos, pero sus vidas se separarán y cada uno pasará muchas penurias hasta que vuelven a encontrase. Es una historia que transcurre en un desierto de algún ficticio lugar de Oriente Medio, en la que se habla sobre la esclavitud, la violencia sexual, el racismo, las tradiciones, la relación de los seres humanos con la naturaleza, la distancia entre el primer y tercer mundo, entre los ricos y los pobres,… en la que el Islam es un elemento muy importante, y su herencia conjunta con el cristianismo, pero también la cultura y lengua árabes, y la tradición de contar historias, al estilo de las mil y una noches, aunque inspiradas en el Corán. Pero si la escritura arábiga integrada en el dibujo o los diseños geométricos árabes son elementos destacados en Habibi, también lo son los cuadrados mágicos, que acompañan al lector a lo largo de toda la novela gráfica.
Los cuadrados mágicos son unos objetos matemáticos que han cautivado a matemáticos y no matemáticos a lo largo de la historia. Se pueden encontrar, normalmente, en libros de divulgación de las matemáticas, de matemática recreativa o incluso de magia. Sobre ellos han investigado grandes matemáticos como Pierre de Fermat o Leonhard Euler, y hasta personalidades como Benjamin Franklin, se atrevieron con ellos. Los cuadrados mágicos ya se conocían desde la antigüedad (quizás más allá del año 2.200 a.n.e.), y se les relacionaba con los planetas y con la alquimia, con la magia y la astrología, con la numerología, y también se utilizaban para sanar o como amuletos.
Craig Thompson se ha documentado muy bien sobre los cuadrados mágicos y los ha integrado de forma magistral a lo largo de toda la historia.
Quienes estéis interesado en conocer más sobre las matemáticas de los cuadrados mágicos que aparecen en Habibi, podéis leer tres entradas que hice en el Cuaderno de Cultura Científica, Habibi y los cuadrados mágicos.
Ken Games, No es bueno decir toda la verdad, José Manuel Robledo (guionista), Marcial Toledano (dibujante), Diábolo, 2009-2010. (volumen 1: Pierre, 2009; volumen 2: Feuille, 2009; volumen 3: Ciseaux, 2010)
Los tres protagonistas de la historia de Ken Games son Pierre Fermat, Thierry-Jean Feuille y Anne Parilou (Ciseaux), que además son los narradores en cada uno de los tres volúmenes de la serie, cuyas historias se van contando en paralelo a lo largo de cada uno de ellos.
Aparentemente, los dos primeros son matemáticos, Pierre tiene una beca para investigar en el campo del álgebra y Thierry-Jean trabaja en un banco, mientras que Anne es Licenciada en Literatura y Filosofía, pero trabaja como maestra de primaria. Aunque, los tres mienten. Pierre es boxeador, Thierry-Jean jugador de póquer y Anne (Ciseaux) asesina a sueldo.
El narrador del primer volumen, cuyo título es Pierre, es naturalmente Pierre Fermat. Este volumen comienza con un combate de Pierre, apodado en el mundo del boxeo “Pierre el matemático”, quien utiliza las probabilidades para ganar los combates.
Mientras Pierre de Fermat estudiaba la licenciatura de matemáticas, su padre enfermó y este no tuvo más remedio que abandonar sus estudios. Sin embargo, mantuvo a todo su entorno, en particular, a su padre y a su mejor amigo, en la mentira de que seguía estudiando… presentándose a los exámenes, licenciándose y ganando una beca de investigación en el campo del álgebra. Poco a poco, para despejarse de la presión de cuidar a su padre enfermo, Pierre fue acercándose al mundo del boxeo.
Thierry-Jules Feuille, TJ, que es el mejor amigo de Pierre Fermat y que le conoció mientras estudiaban matemáticas, presenta a Pierre ante su novia, Anne, como “una especie de Euler, de esos matemáticos que directamente “ven” las cosas. En segundo ciclo optó por la rama de las matemáticas fundamentales”, y cuando Anne pregunta qué es eso, el propio Fermat, explica “Álgebra abstracta, Geometría algebraica, últimas tendencias en matemáticas, en quinto me especialicé en las matemáticas de la no linealidad”.
Thierry-Jules se especializó en “probabilidad, estadística y contabilidad” y aparentemente acabó trabajando en un banco y ganando mucho dinero. Sin embargo, su profesión de verdad es ser jugador profesional de póquer, para la cual tiene madera.
La conjetura de Poincaré, Raule (guionista), Jose María Martín Sauri (dibujante), Diábolo, 200
Raule, a quien muchas personas conocerán por su excelente serie de novelas gráficas Jazz Maynard, decide escribir una historia sobre un matemático que intenta demostrar la conjetura de Poincaré.
La conjetura de Poincaré, que tuvo una gran repercusión mediática en 2006, cuando se le concedió la Medalla Fields al matemático ruso Grigory Perelman por su demostración de la misma, pero que acabo rechazando. Perelman y la conjetura de Poincaré volvieron a los medios de comunicación cuando también rechazó el premio metálico, un millón de dólares, del Instituto Clay de Matemáticas por haber resuelto uno de los 7 Problemas del Milenio.
La conjetura de Poincaré es un problema complejo de topología. Resulta que, si pensamos en superficies del espacio tridimensional, la única superficie “cerrada” y “simplemente conexa” (esto quiere decir algo así como que todo lazo sobre ella se puede cerrar), es la esfera (topológicamente hablando, es decir, si aplastamos un poco una esfera, sigue siendo topológicamente una esfera). Pues la conjetura de Poincaré era este mismo resultado, pero para dimensión 3… es decir, todo espacio geométrico de dimensión 3, cerrado y simplemente conexo es una esfera de dimensión 3.
El protagonista de esta novela gráfica es un joven matemático que para aislarse del mundo con el objetivo de demostrar la conjetura de Poincaré se va a trabajar a un faro que está situado en una isla desierta. Una vez en la misma empezarán a ocurrir una serie de extraños acontecimientos, que empiezan con la destrucción del helicóptero que lo ha llevado a la isla. La situación nos recuerda un poco a la del personaje matemático de Dustin Hoffman en la película Perros de Paja. En paralelo a la trama de la novela gráfica, el matemático continuará con sus intentos de probar la famosa conjetura… ¿lo conseguirá?
El número 73304-23-4153-6-96-8, Thomas Ott, Ediciones la cúpula, 2008.
El arte del historietista Thomas Ott es muy particular. Realiza sus novelas gráficas utilizando la técnica “Carte a gratter”, algo así como “tarjeta raspada”, creando un dibujo muy peculiar en blanco y negro, que va muy bien con las historias oscuras que nos narra este artista. Además, la historia no tiene texto, salvo el que pueda aparecer en los propios dibujos.
Nos cuenta una de esas historias negras de las clásicas, con los típicos ingredientes, la cárcel, la silla eléctrica, el verdugo, un oscuro bar, un casino, la ruleta rusa, una mujer fatal, mucha pasta, la casa de empeños, una pistola, una navaja, lugares oscuros de la ciudad, etc.
En el primer dibujo son unos dedos sujetando un papelito que contiene el número (o números) del título… 73304-23-4153-6-96-8. Es la mano de un recluso que va a morir en la silla eléctrica. Tras ser ejecutado el papelito quedará caído al lado de la silla eléctrica y lo recogerá el funcionario que se encarga de la ejecución. Esos números marcarán su vida a partir de ese momento… éxito y fracaso… ¿puede el destino de una persona estar marcado por una serie de números?
No desvelemos más de la historia. Solo un detalle matemático más, la banda de Moebius (recordemos que es una superficie con una única cara, que es una banda retorcida) como símbolo del cambio de fortuna en la vida del protagonista, de la buena a la mala fortuna. La banda de Moebius aparece en nombre (el grupo que toca en el bar el The Dr Moebius Octet y aparece un dibujo de la misma en el escaparate de la casa de empeños).
El vendedor de estropajos, Fred Vargas (guionista), Edmond Baudoin (dibujante), Astiberri, 2011.
Esta es una historia (basada en el relato corto “Cinco francos unidad” de Fred Vargas) del comisario Adamsberg, uno de los detectives creados por la escritora francesa.
En la misma, el testigo de un crimen es un vagabundo llamado “Pi” y que es “bueno con los números”. De hecho, en la presentación del personaje nos hace un pequeño cálculo… dispone de 9.732 estropajos para vender, pero en cuatro meses ha vendido solo 512, luego “A ese paso necesitaría 2.150,3 días para vaciar la nave [donde se almacenan]. Es decir, seis años coma diecisiete arrastrando el asno [su carrito de supermercado]”. (*)
Al vagabundo, cuyo nombre es “Pi”, le llamaban en la escuela, cuando era niño, “3,14”. Además, está obsesionado con el número pi, su definición y el perímetro de las circunferencias, cuyo cálculo se realiza a partir de pi. De hecho, es bueno estimando a ojo el perímetro de diferentes circunferencias. Además, el comisario Adamsberg, teniendo en cuenta esto decide poner a la víctima, para ocultar su identidad, el seudónimo de 421, en alusión al juego, que se juega con tres dados, de dados llamado “421”.
Las Tierras Huecas: Zara y Nogegon, Luc Schuiten, François Schuiten, Norma. (se publicó, por primera vez, en francés en 1990)
Debemos empezar señalando que la idea inicial de esta serie, Las Tierras Huecas, es una idea muy interesante. Se trata de analizar, desde la ficción del cómic, cómo afectaría a un planeta el hecho de que fuese hueco.
Recomiendo toda la serie, pero hoy nos vamos a centrar en el tercer libro de la misma, NogegoN, en el cual la simetría es muy importante. La historia, como vamos a comentar más adelante, es un palíndromo, pero también muchos elementos de la misma. Por ejemplo, los nombres de las ciudades –como Dramard o Radar-, los nombres de los personajes de la misma –como las protagonistas Nellen y Olivio- o los barrios -44, 1771, 1221,…- son palíndromos, pero también la vida de los habitantes de este mundo, que están destinados a repetir su vida en sentido inverso. Pero la propia estructura del cómic es un palíndromo, cada página A tiene una simétrica A’, respecto al centro, con unas características que recogen esa idea de simetría. Y la historia misma es esencialmente, no solo estructuralmente, palindrómica, produciéndose en la segunda parte acciones en un sentido inverso de la segunda parte (por ejemplo, si un personaje se ríe en una viñeta de la primera parte, puede estar llorando en la viñeta simétrica de la segunda parte). El escritor y profesor jubilado de la UPV/EHU, Antonio Altarriba tiene un interesante análisis de esta obra.
Como yo siempre pongo problemas en el programa, Eva ha decidido ponerme uno a mí. Ella suele tomar notas en unos pequeños papeles rectangulares, de tamaño 8,5 cm de ancho y 11 cm de alto, entonces me ha mostrado uno de esos papeles doblados y me ha pedido que calcule cuanto mide la doblez (el segmento AB en el dibujo que acompaña al problema), sin medir, solo teniendo en cuenta el valor de los segmentos que ella me ha proporcionado y que incluyo en el siguiente dibujo (1,38 cm, 3,82 cm y 10,16 cm).
La solución es 11,57 cm. Para obtenerla hay que hacer uso del teorema de Pitágoras. Empezamos con el triángulo rectángulo pequeño, que tiene a B como uno de sus vértices, su hipotenusa en 1,38 cm y uno de sus catetos es 11 – 10,6 = 0,84 cm, luego aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos el otro cateto, que es la raíz cuadrada de (1,38)2 – (0,84)2 = 1,1988, que es, más o menos, 1,09 cm.
Ahora vayamos al triángulo grande, que tiene como hipotenusa el segmento buscado, AB. Uno de sus catetos es el lado del papel, 11 cm, y el otro se calcula fácilmente, con la anterior información, es 8,5 – 3,83 – 1,09 = 3,58 cm. Y uno de los catetos es el lado del papel, 11 cm, luego por el teorema de Pitágoras, el otro es la raíz cuadrada de 112 + (3,58)2 = 133,8164, es decir, aproximadamente11,57 cm.)
El matemático Raul Ibáñez ha preparado una lista de novelas gráficas, relacionadas con las matemáticas que queremos compartir con nuestros oyentes:
La amante cartesiana, Paloma Ruiz Román (guionista), Juan Alarcón (dibujante), Egales, 2016.
Esta novela gráfica está inspirada en un artículo del matemático José Manuel Rey, de la Universidad Complutense de Madrid, que describe un modelo matemático sobre la dinámica de las relaciones de pareja. Además, la protagonista de la historia es una profesora de matemáticas de un instituto de enseñanza secundaria.
Logicomix, Una búsqueda épica de la verdad, Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou (guionistas), Alecos Papadatos (dibujante), Annie Di Donna (colorista), Ediciones Sins Entido, 2011. [versión original en griego de 2008 y versión inglesa de 2009]
Uno de los guionistas de esta historia es el escritor Apostolos Doxiadis, que tuvo un gran éxito con su novela, del año 1992, El tío Petros y la conjetura de Goldbach. La historia que se narra en esta novela gráfica es uno de los momentos más apasionantes y decisivos de la historia de las matemáticas, es la discusión teórica sobre los fundamentos de las matemáticas (es decir, el estudio de los conceptos básicos de las matemáticas, de las estructuras fundamentales de esta ciencia y del edificio lógico sobre el que se desarrolla) de finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Además, la historia está contada a través de uno de los protagonistas de la misma, el filósofo, lógico y matemático Betrand Russell. Y tendrá como protagonistas a muchos grandes matemáticos del momento, como Frege, Wittgenstein, Hilbert, Gödel o Poincaré, entre otros.
La historia empieza con una conferencia de Bertrand Russell en una universidad estadounidense, justo al inicio de la Segunda Guerra Mundial. A lo largo de dicha conferencia, de hecho, de la novela gráfica, Russell irá narrando la historia de los fundamentos de las matemáticas a través de su propia historia personal, empezando desde el principio, cuando era un niño.
Última lección en Gotinga, Davide Osenda, 001 Ediciones, 2009. (versión original en italiano)
Esta novela gráfica está ambientada en la alemania nazi anterior a la Segunda Guerra Mundial, justo después de la expulsión de muchos científicos judíos de la universidad alemana. De la Universidad de Gotinga, lugar en el que transcurre esta historia, se había echado a científicos de la talla de los físicos Max Born, Eugene Wigner, Leo Szilard o Edward Teller, o del matemático Richard Courant y la matemática Emmy Noether.
La historia de este cómic empieza con un profesor de matemáticas dando su última lección en la Universidad de Gotinga … ante un aula vacía. Aunque, sin que lo sepa el profesor, un estudiante que iba a recoger un libro que se había dejado olvidado en el aula acabará escuchando esa clase. Esta última lección versará sobre un tema también fundamental en matemáticas, el concepto de infinito y la hipótesis del continuo.
El matemático alemán George Cantor había demostrado en el año 1873 que existían diferentes tipos de infinitos. Por ejemplo, el infinito de los números naturales es más pequeño que el infinito de los números reales, dicho de otra forma, estos no se pueden numerar (por cierto, que en el cómic se reproduce la demostración utilizando las cartas de poker). Más aún, Cantor demostró que existían infinitos (tipos de) infinitos, pero no estaba claro cual de esos infinitos era el de los números reales. Y con esto tiene que ver la conocida como “hipótesis del continuo”, que conjetura que es el infinito de los números reales es el siguiente, en tamaño, después del infinito de los números naturales. Pero no se podía demostrar ese resultado, lo cual nos acaba enlazando este tema con los teoremas de incompletitud de Gödel (en concreto, la existencia de proposiciones que pueden ser verdaderas, pero que no se puede demostrar si lo son, o no).
La última lección del profesor de matemáticas, que versaba sobre estos temas, transcurre al mismo tiempo que se produce la represión sobre los judíos en alemania, la época en la que empiezan los campos de concentración. De hecho, tras terminar su lección, el matemático es detenido en la calle por los nazis y subido a un camión que se lo lleva.
Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage, Sydney Padua, Editorial UOC, 2016.
Este cómic, con una estética muy cercana al movimiento steampunk, se centra en la vida y aportaciones científicas de Ada Byron, así como de su relación con Charles Babbage. Pero no solo nos habla de ellos dos, sino que poco a poco va introduciendo muchos otros personajes históricos, como la reina Victoria, el lógico George Boole, la escritora Mary Anne Evans (que firmaba como George Eliot), el matemático y escritor Lewis Carroll, el físico y matemático William Hamilton, entre otros. E incluso se atreve con cuestiones matemáticas como los números complejos y los cuaterniones de Hamilton, las geometrías no euclídeas, o algunas aportaciones matemáticas del grande de las matemáticas, Friedrich Gauss.
Además, no se trata solamente de un cómic. Cada una de las viñetas de una página está acompañada de unas pocas notas a pie de página que aclaran algunos de los aspectos de lo dibujado en dichas viñetas. Pero más aún, al terminar cada capítulo hay notas más extensas sobre aspectos biográficos, históricos y matemáticos. Al final del libro hay un apéndice sobre “algunos documentos principales entretenidos” y otro sobre “la máquina analítica”.
Descifrando enigma. Alan Turing, un genio de su tiempo, Jim Ottaviani (guionista), Leland Purvis (dibujante), Oberon (ANAYA), 2019.
El escritor Jim Ottaviani ya tiene una amplia experiencia en la realización de novelas gráficas sobre la vida de distintos científicos. Sus últimas novelas gráficas son Feyman (Norma, 2012), sobre el físico Richard Feyman, Primates (Norma, 2019), sobre las primatólogas Jane Goodall, Dian Fossey y Biruté Galdikas, la mencionada Descifrando Enigma y la última es Hawking.
La novela gráfica Descifrando enigma nos narra la biografía del matemático inglés Alan Turing, en especial, los años de Bletchley Park, en los que trabajó para romper el código de la máquina Enigma durante la segunda guerra mundial, que hemos podido ver también en la gran pantalla, en la película homónima The Imitation Game (Descrifrando enigma) de Morten Tyldum, e interpretada por el actor Benedict Cumberbatch.
La novela está dividida en tres partes, que se dedican a la infancia y juventud de Alan Turing, la parte de los años de la Segunda Guerra Mundial en Bletchley Park y finalmente, los años tras la guerra hasta su muerte. En la historia nos encontramos los elementos que ya conocemos, pero narrados con un estilo propio y fuera de la presión del mundo del cine, de realizar una película comercial: la costumbre de ir corriendo o en bicicleta a todos los sitios, su peculiar infancia y juventud, su relación con Christopher Morcom, su homosexualidad, su creación de la maquina universal (conocida como máquina de Turing), su viaje a Princeton donde estuvo en contacto con Alonzo Church y John von Newman, la anécdota de llevar una máscara antigas por la fiebre del heno, todo su trabajo para construir una máquina, llamada “bomba” que rompiera el código de la máquina de encriptado alemana Enigma, el ambiente de Bletchley Park, su compromiso de matrimonio con Joan Clark, su trabajo sobre las máquinas inteligentes, su detención y condena por ser homosexual, el tratamiento por estrógenos obligado para no ir a la cárcel y su enigmática muerte, entre otros muchos.
Por otra parte, nos encontramos con novelas gráficas que no podemos calificar como matemáticas, en el sentido de las anteriores, pero que tienen algún elemento matemático, más o menos destacados, como por ejemplo:
Las calles de arena, Paco Roca, Astiberri, 2009.
Un joven llega tarde a la cita con su pareja y decide tomar un atajo y meterse por una determinada zona de la ciudad, en la que acabará perdiéndose y de donde no podrá salir, por mucho que lo intente. Esa noche, exhausto acabará pidiendo una habitación en un peculiar hotel… este es el punto de inicio de esta novela gráfica.
Al leer esta historia nos veremos transportamos a algunos universos literarios, como Las ciudades Invisibles de Italo Calvino, pero sobre todo al mundo de Borges. Un elemento claro en este sentido, y conectado con las matemáticas, es el personaje que está diseñando un mapa de escala 1:1, es decir, “escala real”, luego un mapa perfecto, pero completamente inútil, sin utilidad alguna, como el mapa del exquisito texto de Borges Del rigor de la ciencia. Idea esta, del mapa de escala 1:1, que también encontramos en el libro Silvia y Bruno, de Lewis Carroll.
Otro mapa que aparece en la historia es el mapa completamente blanco, solo con meridianos y paralelos, sin nada más, que nos recuerda al mapa blanco, también inservible, del poema de Lewis Carroll, La caza del Snark.
Pero uno de los contenidos matemáticos explícitos de esta novela gráfica tiene que ver también con el infinito, de hecho con la paradoja conocida como el hotel infinito de Hilbert, de que hemos hablado aquí en alguna ocasión, y que pone de manifiesto lo extraño de algunas propiedades del infinito (quien no lo recuerde puede ver mi video sobre el hotel infinito de Hilbert, del programa Orbita Laika, que está en el Cuaderno de Cultura Científica).
Cuando el protagonista de la historia, que no puede salir del barrio viejo de la ciudad, descubre que el hotel en el que se aloja es enorme, que se extendiende hacia el cielo, como si no terminase nunca, otro de los personajes, con el que comparte habitación, le dice “Dicen que el Hotel de la Torre tiene infinitas habitaciones. Yo no me lo creo. Lo diseñó un tal Hilbert, matemático, creo”.
Recordemos que un cuadrado mágico de orden 3 es una distribución de los primeros 9 números, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sobre las casillas de un cuadrado 3 x 3, de forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea siempre la misma, como en el cuadrado.
Si admitimos la posibilidad de que esté formado por otros números distintos, ¿cuáles son los números que faltan en el siguiente cuadrado mágico?
Solución: