Las reglas de la divisibilidad, por Raúl Ibáñez

 

Las reglas de divisibilidad de la aritmética parecen pequeños trucos de magia que nos permiten conocer, de forma más o menos rápida, si un cierto número, por ejemplo, 1.056.475.343, es divisible por 2, 3, 4, 5 u otros números. Aunque nos puedan parecer una tontería, e incluso una simple anécdota matemática, estas reglas son muy útiles, y mostraremos a modo de ejemplo algunas sencillas aplicaciones de algunas de las reglas de divisibilidad.

Por ejemplo, en más de una ocasión hemos hablado en este espacio de los números primos, aquellos que solamente son divisibles por el 1 y por ellos mismos, como el 2, el 3 o el 11, pero no el 6, divisible también por 2 y 3. Un resultado sobre números primos fruto de una de las reglas de divisibilidad es el siguiente.

Propiedad 1: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

(Recordemos que los números pandigitales son aquellos que están formados por todas las cifras básicas, con o sin el cero, como 934.521.687 ó 6.054.392.187)

También hemos puesto nuestra atención en algún programa en los números capicúas, de los que podemos obtener la siguiente propiedad.

Propiedad 2: Los números capicúas con un número par de dígitos, por ejemplo, 352.253 son divisibles por 11. Por lo tanto, tampoco son números primos.

En otro programa de hace unos años explicamos un sencillo truco de magia, que se realizaba con una calculadora, basado en la regla de divisibilidad del número 9. En el programa de hoy veremos otro truco de magia basado también en el criterio de divisibilidad del 9.

Pero vayamos a las reglas de divisibilidad. Vamos a empezar explicando las reglas en grupos de números relacionados entre sí.

Reglas de divisibilidad de 2, 5 y 10. Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, la base de numeración con la que trabajamos es 10. Los divisores de este número son 1, 2, 5 y el propio 10, lo cual hace que los criterios de divisibilidad de estos números están relacionados.

La regla de divisibilidad del 10: un número es divisible por 10 si su dígito de las unidades (el primero empezando por la derecha) es 0.

La regla de divisibilidad del 5: un número es divisible por 5 si su dígito de las unidades es 0 o 5.

La regla de divisibilidad del 2: un número es divisible por 2 si su dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.

Vamos a dar una pequeña justificación de estas reglas. En general, las reglas de divisibilidad se pueden demostrar utilizando la representación decimal de los números. Si consideramos un número cualquiera como 8.346, su valor es

8 x 1.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 6

Como las potencias de 10 (1.000, 100 y 10) son divisibles por 10, luego también por 2 y 5, entonces el número será divisible por 10, si lo es la cifra de las unidades, que i) en el caso del 10 significa que las unidades valen 0; ii) en el caso de 5, que valen 0 o 5; iii) en el caso de 2, que valen 0, 2, 4, 6 o 8.

Luego el número 8.346 es divisible por 2, pero no por 5 o 10. O también, el número 564.930 es divisible por 10, luego también por 2 y 5, o el número 735 es divisible por 5, pero no lo es ni por 2, ni por 10. Por otra parte, el número inicial 1.056.475.343 no se puede dividir por ninguno de los tres.

Reglas de divisibilidad de 4, 8, 16, … Los criterios de divisibilidad anteriores, para 2, 5 y 10, se pueden extender a las potencias de estos números de una forma sencilla. Veamos el ejemplo del número 4.

La regla de divisibilidad del 4: un número es divisible por 4 si, y sólo si, él número formado por los dos primeros dígitos de la derecha (decenas y unidades) es divisible por 4.

Así, el número 5.316 es divisible por 4, ya que el número formado por los dos primeros dígitos de la derecha -16- es divisible por 4, mientras que 3.414 no lo es, por no serlo 14.

La justificación de esta regla es similar a la vista en el apartado anterior. La idea es que las potencias de 10, a partir del 100, son divisibles por 4, luego el número es divisible por 4 si, y solo si, el número formado por las decenas y unidades es divisible por 4.

Teniendo en cuenta que 100 = 4 x 25, el argumento es válido para 4 (22), 25 (52) y 100 (102). Es decir, un número es divisible por 4, 25 o 100, respectivamente, si, y sólo si, el número formado por los dos dígitos de la derecha del número original, también lo es. Aunque en el caso de 100 lo que quiere decir es que los dos dígitos de la derecha son ceros.

Por ejemplo, el número 4.200 es divisible por 100, luego por todos los divisores de 100, el número 763.475 es divisible por 25, pero no por 100, ni por 4.

Volvamos a que el número 5.316 es divisible por 4, ya que los dos últimos dígitos -16- lo son. Lo curioso es que podemos seguir añadiendo dígitos a la izquierda del número para obtener números más grandes y la divisibilidad por 4 se mantendrá en todos ellos. Así, el número 2.943. 445.316 sigue siendo divisible por 4, ya que la regla estudiada nos dice que solo importan los dos dígitos de la derecha (16).

Reglas de divisibilidad de 3 y 9. Las reglas de divisibilidad del 3 y el 9 suelen ser de las pocas reglas, además de las de 2, 5 y 10, que suelen aprenderse en la escuela.

Mientras que las reglas anteriores implicaban solo a una pequeña parte del número, formado por cierto grupo de dígitos de su parte derecha, en los criterios de divisibilidad que vamos a ver ahora están implicados todos los dígitos del número.

La regla de divisibilidad del 3: un número es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3.

La demostración, haciendo uso de la representación posicional decimal de los números, es también muy sencilla, aunque no vamos a explicarla aquí. Para quienes estéis interesados podéis leerla en un artículo reciente que he publicado sobre el tema en el Cuaderno de Cultura Científica de la UPV.

Veamos si el número del principio, 1.056.475.343, es divisible por 3. No lo es, ya que la suma de sus dígitos es 38, que no es divisible por 3. Por otro lado, el número 197.536.892.361 sí es divisible por 3, ya que a suma de sus dígitos es 60, claramente múltiplo de 3.

Más aún, como la condición que debe cumplir un número para ser divisible por 3 es que la suma de los dígitos del mismo también sea divisible por 3, se puede aplicar de nuevo la regla de divisibilidad a esta última cantidad, si fuese grande. Es decir, tenemos una regla que se puede aplicar de forma recursiva. [Por ejemplo, para saber si el número 794.612.966.663.462.659.937 es divisible por 3, hay que sumar sus dígitos y esa suma es 116, pero a su vez para saber si este es divisible por 3 sumamos sus dígitos 1 + 1 + 6 = 8, cuyo resultado no es divisible por 3, luego tampoco el número enorme anterior.]

Además, el argumento que se ha realizado para el número 3 demuestra lo mismo para el número 9.

La regla de divisibilidad del 9: un número es divisible por 9 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Ya estamos en condiciones de demostrar la propiedad 1 que he mencionado al principio: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

El motivo es que la suma de los dígitos de un número pandigital es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, que es múltiplo de 9, luego cualquier número pandigital es múltiplo de 9, luego no es primo.

Veamos un truco de magia basado en esta idea. Se pide a una persona que piense –y escriba en un papel– un número de cinco o seis dígitos, aunque puede ser otra cantidad de dígitos. Por ejemplo, el número 632.571. Se puede enseñar el número a las demás personas “al resto del público”, pero no a la persona que le hace el truco. Después se le pide que cambie, a su gusto, el orden de los dígitos del número. Por ejemplo, 521.736. Y, además, que reste el mayor del menor, 632.571 – 521.736 = 110.835. A continuación, se le pide que elija uno de los dígitos no nulos del número que ha resultado de la resta. Supongamos que elige el 1. Lo siguiente es que diga en alto el resto de los dígitos y la persona que hace el truco adivinará, por arte de magia, el dígito que falta. La clave está en que el número resultante de la resta, en el ejemplo, 110.835, es siempre divisible por 9 (es sencillo justificar esto utilizando la representación decimal de los números), luego verifica la regla de divisibilidad. Como ha elegido el 1, la suma del resto es 1 + 0 + 8 + 3 + 5 = 17, y aplicando la regla de nuevo 1 + 7 = 8. Como falta 1 para llegar a 9, entonces, ese es el dígito elegido y oculto. 

Las reglas de divisibilidad de los números 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4 y 15 = 3 x 5 son consecuencia inmediata de las reglas anteriores, por ejemplo, un número es divisible por 6 si es divisible por 2y 3, luego:

La regla de divisibilidad del 6: un número es divisible por 6 si, y sólo si, el dígito de las unidades es 2, 4, 6, 8 o 0, y la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Vamos a terminar con las reglas de divisibilidad de 7, 11 y 13, que están relacionadas porque 1001 = 7 x 11 x 13.

La regla de divisibilidad del 11: un número es divisible por 11 si, y sólo si, la suma alternada de sus dígitos (es decir, se va alternando suma y resta) es múltiplo de 11 (incluido el 0).

Veamos algún ejemplo. Empecemos por el número con el que abríamos esta entrada, el 1.056.475.343. Calculemos la suma alternada de sus dígitos 1 – 0 + 5 – 6 + 4 – 7 + 5 – 3 + 4 – 3 = 0, luego es múltiplo de 11. Otro ejemplo sería el número 2.519, cuya suma alternada de sus dígitos es 2 – 5 + 1 – 9 = – 11, luego efectivamente el divisible por 11.

Por este criterio es fácil ver que: Los números capicúas con un número par de dígitos son divisibles por 11.

En los números capicúas con una cantidad par de dígitos, como 327.723, los dígitos que ocupan posiciones impares y pares son los mismos, e igual a los dígitos que están en la derecha y la izquierda del número (posiciones impares desde la izquierda, 3, 7, 2, mientras que en las pares 2, 7, 3), luego la suma alternada es cero, por lo que se cumple la regla de divisibilidad del 11.

La regla de divisibilidad del 7, 11 y 13. Un número es divisible por 7, 11 o 13, resp., si la suma alternada de los grupos de tres dígitos, empezando por la derecha, también lo es.

Por ejemplo, si tomamos la suma alternada de los grupos de tres dígitos del número 5.166.574.959 se obtiene 959 – 574 + 166 – 5 = 546. Como 546 es el producto de 6, 7 y 13, se deduce que el anterior número es divisible por 7 y 13, pero no por 11.

Mateadictos: Un problema difícil

La matemática Miren Andetxaga planteó el siguiente problema a sus estudiantes de matemáticas: si se escriben los números naturales seguidos, en su orden natural y empezando en el 1, es decir, 123456789101112… ¿cuál será la cifra que ocupa la posición 552.715 en esa lista?

Solución: Es la cifra 6. La clave para resolver este problema es conocer cuántos dígitos tienen los números cuando hemos llegado a la posición 552.715. Para ello, razonamos así:

 

A. Los números de un dígito, del 1 al 9, suman un total de 9 dígitos en la lista 123456789.

B. Los números de dos dígitos, del 10 al 99, suman un total de 2 x 90 = 180 dígitos.

C. Los de tres dígitos, del 100 al 999, suman un total de 3 x 900 = 2.700 dígitos.

D. Los de cuatro dígitos, del 1.000 al 9.999, suman un total de 4 x 9.000 = 36.000 dígitos.

E. Los de cinco dígitos, del 10.000 al 99.999, suman un total de 5 x 90.000 = 450.000 dígitos.

F. Los de seis dígitos, del 100.000 al 999.999, suman un total de 6 x 900.000 = 5.400.000 dígitos.

 

Como el listado con todos los números con 1, 2, 3, 4 y 5 dígitos, tiene 9 + 180 + 2.700 + 36.000 + 450.000 = 488.889 dígitos, la cifra que está en la posición 552.715 pertenece a un número de 6 dígitos.

Más aún, restando 552.715 – 488.889 = 63.826, es decir, la cifra buscada está en la posición 63.826 dentro de los números con 6 dígitos. Ahora, dividiendo entre 6 para saber cuántos números de 6 dígitos hemos puesto para llegar a esa posición, tenemos que

63.826 = 10.637 x 6 + 4.

Es decir, la cifra buscada está en el número 10.638 de 6 dígitos, de hecho, es el cuarto dígito (el resto). Luego es el cuarto dígito del número 100.000 + 10.637 = 110.637, es decir, el 6. )

Mateadictos: el tapiz

Un artesano teje pequeños tapices cuadrados de dos colores, unos son grises y otros son blancos. Con ellos quiere fabricar un tapiz mayor de forma rectangular tal que colocando los cuadrados grises en el borde y los blancos en el interior necesite el mismo número de cuadrados grises y blancos. ¿Es esto posible? ¿De cuantas formas? [nota: el artesano lo ha intentado con un tapiz rectangular de 5 y 7 cuadrados de lado, pero ha descubierto que así utiliza 20 cuadrados grises y 15 blancos.

 

Si conoces la solución, escribe un correo electrónico a lamecanicadelcaracol@eitb.eus o deja un comentario en esta entrada y participarás en el sorteo de libros de matemáticas.

Mateadictos: De viaje por Iparralde

Un joven de Hegoalde decidió viajar a Iparralde para conocerlo. Su idea era visitar durante algunos días cada una de las tres provincias, Lapurdi, Zuberoa y Benafarroa. Antes de salir solamente tenía un poco de dinero, por lo que se llevó la txalaparta para sacar algo de dinero tocando en la calle. En Lapurdi dobló el dinero que tenía inicialmente y gastó 120 euros. En Zuberoa triplicó el dinero que tenía al llegar y gastó 70 euros, mientras que en Benafarroa dobló el dinero que me quedaba y gastó 90 euros. Y al finalizar el viaje solamente le quedaban 10 euros. ¿Cuántos euros tenía al iniciar el viaje?

Solución: Empezó el viaje con x euros, tras pasar por Lapurdi le quedaban 2x – 120, tras Zuberoa 3(2x – 120) – 70, y tras Benafarroa 2[3(2x – 120) – 70] – 90 = 10, despejando x obtenemos x=80 euros.

Mateadictos: un millardo

En esta ocasión hay que buscar dos números naturales, que no contengan ceros, cuya multiplicación sea un millardo, es decir, 1.000.000.000 (mil millones).

Solución:

Si descomponemos el número mil millones en sus factores primos, claramente está compuesto de doses y cincos. Como 10 es igual a 2 por 5, claramente mil millones es 2 elevado a la 9 multiplicado por 5 a la 9. Para que no se produzcan ceros, multiplicamos los 5 entre sí y los 2 entre sí, luego los dos números buscados son 512 (2 elevado a 9) y 1.953.125 (5 elevado a 9)

Mateadictos: en busca de un número

Tenemos en encontrar el menor número tal que al dividirlo por…

i) 2, el resto es 1,
ii) 3, el resto es 2,
iii) 4, el resto es 3,
iv) 5, el resto es 4,
v) 6, el resto es 5,
vi) 7, el resto es 6,
vii) 8, el resto es 7,
viii) 9, el resto es 8.

Solución: Este problema se soluciona cambiando el punto de vista, si al número que buscamos n le sumamos 1, entonces tenemos que las condiciones del problema nos dicen que es divisible por 2,3,4,5,6,7,8,9, luego el mínimo común múltiplo de todos ellos es 9 x 8 x 7 x 5 = 2.520, y nuestro número 2.519

Mateadictos: Las hijas del profesor de matemáticas

Dos profesores (uno de Matemáticas y otro de Literatura) están charlando sobre sus respectivas familias.

– Por cierto, ¿qué edades tienen tus tres hijas?- pregunta el Profesor de Literatura.

– El producto de sus edades es 36, y su suma, casualmente es igual al número de tu casa- contesta el Profesor de Matemáticas.

Tras reflexionar un rato, el Profesor de Literatura dice:

– Me falta un dato.

– Tienes razón –admite el Profesor de Matemáticas-. Me había olvidado decirte que mi hija mayor toca el piano.

Problema, ¿qué edades tienen las tres hijas del profesor?

(nota: las edades de las hijas están comprendidas entre 1 año y 36 años)

Solución: Las edades son 9, 2 y 2 años. El número 36 puede descomponerse en tres factores –las tres edades de las niñas- de la siguiente forma, 1, 1, 36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9; 1, 6, 6; 2, 2, 9; 2, 3, 6; 3, 3, 4. Ahora, puesto que el profesor de literatura, que intenta resolver el acertijo, conoce el número de su propia casa, si estas ocho ternas de números sumaran cantidades distintas, hallaría fácilmente las edades de las niñas, sin más que elegir la terna que sume el número de su casa. Sin embargo, dice que le falta un dato, lo cual se debe a que hay ternas que suman lo mismo. Exactamente, las ternas 1, 6, 6 y 2, 2, 9 suman ambas 13 años, luego ha de ser una de las dos ternas, ya que en caso contrario no le faltarían datos y habría contestado correctamente ya. La aclaración “mi hija mayor toca el piano” nos da la información de que solo hay una hija mayor, por lo tanto, la terna correcta es 2, 2, 9

Juegos matemáticos para el confinamiento

necesitamos el siguiente material: una hoja de papel normal, por ejemplo, din A4, un lápiz y una regla. Y los pasos para construir nuestra hoja de cuatro caras son:

1. Tomamos la hoja de papel, que colocamos con el lado largo en horizontal, y lo vamos a dividir –por delante y por detrás- en cuatro columnas y tres filas, utilizando líneas trazadas con un lápiz.  Generando de esta forma 4 x 3 = 12 casillas rectangulares en cada lado.

2. En cada una de las casillas vamos a pintar, centrado, un número. En las 12 casillas de la parte delantera pintamos los números 4, 4, 3, 2 (en la primera fila, la de arriba), luego 2, 3, 4, 4 (en la segunda fila, en medio) y 4, 4, 3, 2 (en la tercera). Ahora en las casillas de la parte trasera pintamos los números 1, 1, 2 y 3 (arriba), 3, 2, 1, 1 (en medio), 1, 1, 2, 3 (abajo). Ojo, aquí quien lo desee puede echarle imaginación y pintar unos números chulos.

3. Ahora tenemos que realizar un pequeño corte con unas tijeras, por lo tanto, tened cuidado, podéis pedir ayuda a una persona mayor. Pero antes, doblad por las líneas rectas que habéis pintado a lápiz, os ayudará a realizar el corte y es necesario para la parte final.

Pero vayamos con el corte… poned la hoja con la parte de delante, la primera, la que tiene solo doses, treses y cuatros… vamos a cortar el papel para separar las dos casillas del centro –con los números 3 y 4- del resto, pero por todos los lados, salvo uno, el derecho –donde se unen los dos cuatros.

Es decir, cortaremos los lados de arriba de las casillas centrales, 3 y 4, el lado izquierdo de la casilla del 3 y los lados de debajo de esas dos casillas centrales. De esta forma, estas dos casillas, 3 y 4, que están unidad entre sí, solo están unidas al resto por el lado derecho, el lado entre los dos cuatros.

4. A continuación, vamos a realizar unos cuantos dobleces para generar nuestra nueva hoja de papel, que tendrá 2 x 3 = 6 casillas.

Primero, doblamos esa parte central, de dos casillas, hacia la derecha, de forma que va a quedar un 2 hacia arriba, donde estaba el 4, y el 1 que lo acompaña quedará por debajo de la hoja.

Después, doblamos la columna 4, 2, 4 hacia la derecha, una vez, y después toda la nueva columna (sobre la que ahora vemos los números 3, 1, 3) de nuevo hacia la derecha.

Nos quedará una hoja de papel con 2 x 3 = 6 casillas, con un 2 en todas las casillas.

5. Si le dais la vuelta a la nueva hoja de 6 casillas, tendréis una hoja de papel con un 1 en todas las casillas. Estamos entonces en el último paso. Hay que poner un poco de celo uniendo los dos unos de la fila del centro, el de la izquierda con el de la derecha.

Y ya tenéis la hoja de papel con cuatro caras. Veámoslo. En la que tenemos delante solo hay unos (1), le damos la vuelta y solo hay doses (2), luego dos caras. Ahora, con los doses mirando hacia nosotros, doblaremos la hoja por la mitad vertical, llevando las dos mitades hacia atrás, y cuando lleguemos a juntar las dos partes veremos que se nos abre la hoja por el medio, la ayudamos a abrirse con nuestros dedos y veremos que la hoja que tenemos delante tiene todos treses (3). Si volvemos a doblar la hoja por la mitad vertical, hacia atrás, descubriremos una nueva cara con todos cuatros (4). Es decir, tenemos cuatro caras …

juegos de ingenio

El salario: La última semana he ganado 250 euros, incluyendo el pago por horas extraordinarias. El sueldo asciende a 200 euros más que lo recibido por horas extraordinarias. ¿Cuál es mi salario sin las horas extraordinarias?

Este es el típico problema que, si se lee rápidamente, uno contesta 200 euros. Sin embargo, el problema necesita ser bien leído, bien entendido y quizás utilizar una notación adecuada. Para empezar si la respuesta fuese 200 y lo recibido por horas extraordinarias 50, tendríamos que el salario es 150 euros más que lo recibido por horas extraordinarias (y no 200).

Si denotamos por x lo recibido por horas extraordinarias, entonces 200 + x es el salario semanal y (200 + x) + x=250, es decir, x = 25 y el salario semanal 225. (No hace falta utilizar la x, pero así es más sencillo).

El barril de cerveza: Un tabernero tiene 5 barriles de vino y uno de cerveza. Vende una determinada cantidad de vino a un cliente, y el doble de esa cantidad a otro, tras lo cual se queda sin vino. Sabiendo que el vino lo vende por litros enteros, y que las capacidades de los barriles son 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros respectivamente, ¿Cuántos litros de cerveza tiene el tabernero?

(Solución: ¿Cómo resolver este problema? Como siempre primero leerlo bien y ver qué información nos da … nos dice que “vende una cantidad de vino a un cliente y el doble a otro” y se queda sin vino, luego la cantidad de vino es múltiplo de 3. Ahora con las capacidades de los barriles -15, 16, 18, 19, 20 y 31- veamos cómo obtenemos una suma múltiplo de 3 sumando 5 de las anteriores cantidades… y esto se consigue con 15 + 16 + 18 + 19 + 31 = 99. Es decir, la solución es que el tabernero tiene 20 litros de cerveza)

Estadística: Supongamos que una estadística sobre la población masculina de una ciudad dice que el 70 % de los hombres son feos, el 70 % de los hombres son tontos y el 70 % de los hombres son malos. ¿Cuál es, como mínimo, el porcentaje de hombres feos, tontos y malos?

(Solución: Veamos que la solución es que el mínimo porcentaje de hombres que podemos asegurar que son a la vez feos, tontos y malos es el 10 %. Una posible forma de resolver puede ser la siguiente: veamos las características, pero al revés, es decir, 3 de cada 10 hombres no son feos, 3 de cada 10 no son tontos y 3 de cada 10 no son malos. Luego, en el caso de que no coincidan esos hombres, los que no son feos, no son tontos y no son malos, habrá 9 hombres –de cada 10- que no tienen alguna de las características, es decir, existe un mínimo de un hombre que sí tiene las tres características. En el lenguaje del problema, el mínimo porcentaje de hombres que podemos asegurar que son a la vez feos, tontos y malos es el 10 %)

Pueden plantearse otras estrategias, esta es simplemente una que se nos ha ocurrido. Otra podría ser… supongamos que las 10 personas las identificamos con 10 cajas y las características son fichas. 7 fichas “feos”, 7 fichas “tontos” y 7 fichas “malos”, en total 21 fichas a distribuir en 10 cajas, luego hay un mínimo de una caja en la que hay tres fichas (…). Es decir, al menos 1 de cada 10 hombres es feo, tonto, malo.

Estos son tres ejemplos de los típicos problemas de ingenio que ponemos en este programa y cómo resolverlo. Pero ojo, habíamos dejado un problema planteado en el último programa…

Problema (La sucesión que se multiplica): ¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 6, 24, 60, 120, 210, 336,… y por qué?

Solución: En el título nos daban una sugerencia, algo relacionado con la multiplicación, … ahí tenemos muchas formas de abordarlo y muchas de ellas erróneas, … la cuestión es que en algún momento escribamos estos números en su descomposición factorial o como producto de números… 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 2 x 3 x 4, 60 = 3 x 4 x 5, 120 = 4 x 5 x 6, 210 = 5 x 6 x 7, 336 = 6 x 7 x 8, luego el siguiente es 7 x 8 x 9 = 504

Problema (¿cómo repartir el tesoro?): Un grupo de estudiantes ha encontrado un tesoro y quieren repartirlo entre el mayor número de compañeros de manera que cada persona reciba la misma cantidad de tesoro. El tesoro consiste en 42 barras de platino, 70 barras de oro y 112 de plata. ¿Cuál es ese número máximo de estudiantes para repartir el tesoro?

Solución:
14 personas. Para solucionar este problema lo que hay que hacer es ver de
cuántas formas podemos dividir el conjunto de barras de cada metal precioso en
grupos con el mismo número de barras. Por ejemplo, 70 puede separarse en 35
grupos de dos barras, en 14 grupos de 5 barras, en 10 grupos de 7 barras, en 7
grupos de 10 barras, en 5 grupos de 14 barras, en 2 grupos de 35 barras o en un
grupo de 70 barras. Esto es debido a que 70=7x5x2. Lo mismo habría que hacer
con 42 y con 112, y ver cuáles son los números de grupos coincidentes y tomar
el mayor. Teniendo en cuenta que 42=7x3x2 y 112=7x2x2x2x2, tenemos que el mayor
número divisor coincidente es 14, luego se puede repartir el tesoro entre 14
personas.

Mateadictos: Una sucesión que se multiplica

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 6, 24, 60, 120, 210, 336, … y por qué?

En el título nos daban una sugerencia, algo relacionado con la multiplicación, … ahí tenemos muchas formas de abordarlo y muchas de ellas erróneas, … la cuestión es que en algún momento escribamos estos números en su descomposición factorial o como producto de números… 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 2 x 3 x 4, 60 = 3 x 4 x 5, 120 = 4 x 5 x 6, 210 = 5 x 6 x 7, 336 = 6 x 7 x 8, luego el siguiente es 7 x 8 x 9 = 504)

Mateadictos: múltiplos de 14

 

¿Cuál es la suma de todos los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000?

(Nota: puede obtenerse una fórmula, similar a la de la anécdota de Gauss en la escuela, de la suma de los n primeros números)

 

Solución: 35.392. Los múltiplos de 14 comprendidos entre 100 y 1.000 son 112, 126, 140, …, 980, 994, que son 14 x 8, 14 x 9, 14 x 10, … , 14 x 70, 14 x 71. La suma es por tanto igual a 14 multiplicado por la suma de los números consecutivos, entre 8 y 71, 8 + 9 + 10 + … + 70 + 71. Esta suma, teniendo en cuenta que la suma de los simétricos respecto al centro siempre es 79 = 8 + 71 = 9 + 70 =…, es igual a [8 + 71] x [71 – 8 + 1] / 2 = 2.528. Ahora, si lo multiplicamos por 14, obtenemos 35.392