Si dibujamos un pentágono regular y sus diagonales, que son cinco, ¿cuántos triángulos habrá en el diagrama dibujado?
Solución:
35 triángulos. Hay siete familias de triángulos distintas y en cada una de ellas cinco elementos, en total, 7 x 5 = 35
Se desconoce cuál es el origen del ajedrez. Sabemos que fue introducido en Europa por los árabes, que lo habÃan aprendido de los persas, pero a ellos les pudo llegar tanto de la India, como de China. Su origen, tan remoto en el tiempo, ha propiciado que existan muchas leyendas, una de ellas relacionada con las matemáticas. En esta, se atribuye su invención al brahmán hindú Sissa ben Dahir, que presentó el juego al rey Shirham de la India.
Al hilo de esta leyenda, Raul Ibáñez nos propone varios retos de ingenio:
Problema 1: Dado un tablero de ajedrez, 8 x 8, del que eliminamos dos casillas opuestas de las esquinas (por ejemplo, pongamos en ellas dos peones), ¿es posible recubrir este tablero con fichas de dominó (suponiendo que estas fichas tienen el tamaño de dos casillas)?
(Nota: Este problema es de los que no tiene solución, pero ¿por qué?)
Problema 2: Si se consideran ahora triominós, que son fichas con tres casillas, pero en forma de L. No puede rellenarse el tablero 8 x 8 con estas fichas, puesto que 64 no es divisible por 3. Sin embargo, si eliminamos una casilla del tablero (por ejemplo, poniendo un peón), ¿será posible recubrir este tablero? (Nota: este problema se puede pensar con tableros de otros tamaños, m, donde m2 – 1 sea divisible por 3)
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Problema 3 (el recorrido del caballo): Utilizando la pieza del caballo, con su particular movimiento en el ajedrez, realizar un recorrido por todas las casillas del tablero, sin repetir casilla. (Nota: se puede proponer el problema para tableros rectangulares de diferentes tamaños)
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Problema 4 (las ocho reinas en el tablero de ajedrez): Colocar ocho reinas en el tablero de ajedrez de manera que ninguna de las reinas se vea amenazada por las otras siete. (Nota: se puede hacer con tableros de lado n, con n reinas, para n más pequeños, e incluso más grandes. Yo empezarÃa por n = 2*, 3*, 4, 5…)
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El problema consiste en adivinar un número de cinco dÃgitos sabiendo que exactamente un dÃgito de cada uno de los diez números, de cinco dÃgitos, que aparecen a continuación está en la misma posición que en el número oculto. ¿Cuál es ese número?
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01265, 12171, 23257, 34548, 45970, 56236, 67324, 78084, 89872, 99414
Solución: 30274.
Teniendo en cuenta que hay diez números, por la hipótesis del problema habrá exactamente diez dÃgitos que están correctamente posicionados. Pero resulta que en la posición del primer dÃgito están las diez cifras, del 0 al 9, luego solo una de ellas es la correcta. En consecuencia, en las cuatro últimas posiciones de los diez números hay exactamente nueve dÃgitos que están correctamente posicionados. En la segunda posición solo el 9 aparece más de una vez, exactamente dos veces, en la tercera posición solo el 2, que aparece tres veces, en la cuarta solo el 7, que aparece tres veces, y en la quinta solo en 4, que aparece tres veces. Como el total debe de sumar nueve dÃgitos que coinciden, solo hay cuatro opciones para esas cuatro posiciones: a) 9 ? 7 4; b) 9 2 ? 4; c) 9 2 7 ?; d) ? 2 7 4. Las dos primeras no pueden ser ya que el último número tendrÃa, al menos, dos dÃgitos en posición correcta, la tercera tampoco, por lo mismo, pero para el anteúltimo número, luego debe de ser ? 2 7 4, esto obliga a que en la segunda posición, la del ?, no haya ninguna coincidencia, ya que 274 ya suman las nueve coincidencias, luego es un número que no aparece, el 0. Y para el primer dÃgito solo hay una opción, el 3
El número 45 tiene algunas propiedades curiosas. Entre otras, puede dividirse en cuatro partes, de tal manera que, si se añade 2 a la primera, se resta dos a la segunda, se multiplica la tercera por 2 o se divide la cuarta por 2, se obtiene siempre el mismo resultado. ¿Cuáles son esas cuatro partes en las que se divide el número 45 de esta forma?
Solución:
8 + 12 + 5 + 20 = 45, ya que 8 + 2 = 12 – 2 = 2 x 5 = 20 / 2 = 10
Si cada una de las letras de la siguiente expresión aritmética, una suma, representa una cifra distinta del 0 al 9:
¿Cuáles son los valores de las letras A, B, C, D, E, F, G?
Solución: Teniendo en cuenta que A, B y C son números distintos y que la suma da un número de cuatro cifras, se deduce fácilmente que 9 < A + B + C < 25. Como, además, los cuatro dÃgitos del resultado son distintos, resulta que A + B + C solo puede tomar el valor 19. Por lo tanto, el resultado de la suma es 2.109. Ahora buscamos A, B y C, distintos, que no valgan 0, 1, 2 y 9, y tales que A + B + C = 19.
Es decir,
A = 8, B = 7, C = 4,
o
A = 8, B = 6, C = 5)
Si ordenamos los números del 1 al 20 de la siguiente forma: 14, 5, 4, 19, 18, 16, 17, 10, 12, 2, 9, 8, 11, 15, 6, 7, 13, 3, 1 y 20. ¿Cuál es el orden que he seguido?
Solución: Los números están ordenados por orden alfabético de sus nombres en español… catorce, cinco, cuatro, diecinueve, dieciocho, dieciséis, diecisiete, diez, doce, etcétera
Imaginemos que tenemos 8 bolas metálicas, idénticas en apariencia y tal que todas pesan lo mismo menos una, que pesa 10 gramos menos. Si contamos con una balanza de dos platos, ¿cuál es el número mÃnimo de pesadas que necesitamos para averiguar cuál es la bola menos pesada? ¿y cómo hacerlo?
Solución: Dos pesadas. En la primera, ponemos tres bolas en cada uno de los platos de la balanza, dejando dos bolas fuera de la pesada. Aquà hay dos opciones:
a) que pesen lo mismo (o lo que es lo mismo, los dos platos están a la misma altura), luego ahà no está la bola que pesa menos y se quitan esas bolas, para poner las otras dos, una en cada plato, de forma que la bola que pesa menos será aquella que queda más arriba;
b) si en la primera pesada no pesan lo mismo, la bola menos pesada estará en el plato que queda más arriba, por lo que nos quedamos con esas tres bolas, y en la segunda pesada ponemos una en cada plato de la balanza, quedando una fuera, y obtendremos la bola que pesa menos… si las balanzas están equilibradas, es la bola que quedó fuera, y si no están equilibradas, entonces la que pese menos de las dos, la del plato más arriba)
En un torneo de pelota mano celebrado este fin de semana en Bilbao cada jugador que perdÃa un partido quedaba eliminado, además cada partido debÃa de jugarse con una pelota nueva. Si participaron 123 personas en el torneo, ¿cuántas pelotas se utilizaron?
Solución: Al finalizar el torneo solo hay una persona ganadora del mismo, luego 122 quedaron eliminadas, y ese es el número de pelotas utilizadas
En el último programa pusimos un problema matemático y 32 personas enviaron soluciones al mismo. Todas las respuestas que se enviaron desde Durango eran correctas y su número era exactamente el 5% del total de respuestas correctas. ¿Cuántas personas contestaron correctamente al problema matemático? ¿Cuántas eran de Durango?
Solución:
Llamemos y al número de respuestas correctas del total de las 32 que se recibieron. Sabemos que el 5% eran las de Durango. Como el 5% de y es (5 × y / 100 = y / 20), tenemos que 20 debe dividir al número y, pero como y es menor o igual que 32, la única opción es que y sea 20, que son el número de respuestas correctas. Y el 5% son las de Durango, luego solo una persona era de Durango
Kepa compró un cuaderno que tenÃa 96 hojas y las enumeró del 1 al 192. Después de utilizar el cuaderno durante varios dÃas, arrancó 25 hojas en las que habÃa escrito cosas que no deseaba guardar. Como diversión, sumó los 50 números de páginas de esas hojas arrancadas del cuaderno. ¿Es posible que la suma fuese igual a 1990?
La respuesta es negativa. No sabemos las hojas que habÃa arrancado, pero cada hoja tiene en una cara un número impar y en la otra uno par –el siguiente- por lo que la suma de los números de cada hoja es impar. Por lo tanto, la suma de los 25 números impares distintos es impar, luego no puede ser 1990