Mateadictos: Moviendo fichas

Imaginemos que tenemos todas las fichas del juego de las damas, que son 24 fichas, desparramadas sobre la mesa y que queremos hacer una pila única con todas ellas. ¿Cómo hacerlo para realizar el número mínimo de movimientos? ¿Apilándolas de una en una o haciendo primero pequeños montones y luego apilar estos?

(nota: mover una ficha o un montón se considera un único movimiento)

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Mateadictos: el puzzle

El otro día fui a una tienda a cobrar un puzzle geométrico que les había construido, y por error la dueña de la tienda me dio las cantidades de euros y céntimos cambiadas (es decir, tantos euros como céntimos tenía que haberme dado, y tantos céntimos como euros me correspondían). Antes de llegar a casa me compré un chicle de 5 céntimos y cuando revisé el dinero que me sobraba comprobé que tenía el doble de la cantidad que me tenía que haber pagado la dueña de la tienda. ¿Cuál era el precio del puzzle geométrico?

Solución: 31 euros y 63 céntimos. Supongamos que el precio del puzzle geométrico eran x euros e y céntimos, que si lo ponemos todo en céntimos son 100x + y céntimos. Si la dueña de la tienda me dio las cantidades cambiadas, me dio y euros y x céntimos, esto es, 100y + x céntimos, pero como me gasté 5 céntimos en un chicle, me quedé con 100y + x – 5 céntimos. Como esa cantidad es el doble de lo que me tenía que haber pagado la dueña de la tienda, ya tenemos nuestra ecuación 100y + x – 5 = 2 (100x + y). Manipulando la ecuación nos queda que y = (199x + 5) / 98. ¿Qué hacer ahora? Buscar el valor de x para que 199x + 5 sea divisible por 98, que ocurre para x = 31, de donde y = 63.

Mateadictos: La cena

El pasado fin de semana nos juntamos un grupo de antiguos alumnos y alumnas del instituto para cenar juntos. Cada bandeja con los entrantes era compartida por cuatro personas, cada bandeja con un delicioso arroz era compartida por tres personas y cada bandeja con lomos de cabracho por dos personas. Si en total se sacaron 65 bandejas, ¿Cuántas personas nos juntamos?

Solución:

60 personas. Si llamamos x al número de bandejas de los entrantes, y al número de bandejas de arroz, y z de lomos de cabracho, entonces x + y + z = 65, y además, 4x = 3y = 2z, que es el número de personas que estuvimos en la cena. Despejando esas ecuaciones se obtiene que x = 15, y = 20, z = 30, y el número de personas que fuimos es 60)

 

 

Mateadictos: La elección del príncipe

En muchos cuentos el príncipe debe demostrar que es el candidato ideal para casarse con la princesa. En uno de estos cuentos y tras muchas pruebas el príncipe llega a una habitación con tres puertas. Es informado de que detrás de las puertas hay un león hambriento, la calle y la princesa. En la puerta de la izquierda pone “Aquí está el león”, en la puerta del centro pone “Aquí está la princesa” y en la puerta de la derecha pone “Aquí no está el león”. Pero es advertido de que uno de los carteles es falso. ¿Qué puerta deberá elegir el príncipe para reunirse con la princesa?

 

Solución: La cuestión es analizar cuál de las tres puertas es la que tiene el mensaje falso, y resulta que la puerta falsa es la del medio, por la cual se sale a la calle, el león está en la puerta de la izquierda y la princesa en la de la derecha)

 

Mateadictos: ¿Cuándo estará hecha la comida?

Vamos a preparar un plato de comida que necesita estar en el fuego durante 13 minutos. Sin embargo, sólo disponemos de dos relojes de arena que miden 3 y 8 minutos respectivamente. ¿Cómo podemos medir el tiempo que necesita nuestro plato para hacerse, es decir, los 13 minutos, con los dos relojes que tenemos?

Solución: Ponemos los dos relojes a funcionar a la vez y cuando llegue a su fin el de 3 minutos -en el otro restarán 5 minutos- encendemos el fuego para cocinar nuestro plato, al llegar al final ese reloj de arena habrán pasado 5 minutos, le daremos entonces la vuelta a ese mismo reloj y esperaremos a que llegue de nuevo al final, momento en el que el fuego llevará 5+8=13 minutos)

Mateadictos: apuros económicos en la infancia

Maite y Aitor revisan lo que tienen en sus bolsillos con el fin de saber si podrán comprar un juguete de moda. A Maite le faltan 19 euros para comprar el juguete, mientras que a Aitor le faltan 2 euros. Ni siquiera juntando el dinero de ambos les alcanza para comprar el juguete. ¿Cuánto cuesta el juguete de moda?

Solución: El juguete cuesta 20 euros. Aitor tendrá 18 euros y Maite 1 euro, suponiendo que los dos tienen dinero y una cantidad entera de euros.

Si llamamos A a la cantidad de euros que tiene Aitor y M a la que tiene Maite, se tiene que la cantidad que cuesta el juguete es M + 19 = A + 2, ya que Maite le faltan 19 euros para comprar el juguete, mientras que a Aitor le faltan 2 euros. Como juntos no pueden comprar el juguete, se tiene que M + A es más pequeño que M + 19 = A + 2, luego A es más pequeño que 19 –Aitor tiene menos de 19 euros- y M es más pequeño que 2 –Maite tiene menos de dos euros-. Pero si Maite tiene dinero tendrá, entonces, 1 euro, luego Aitor tendrá 18 euros, ya que M + 19 = A + 2)

 

Mateadictos: El número secreto

Sea un número de dos dígitos, tal que el dígito de las unidades es más pequeño que el dígito de las decenas en 4 unidades. Además, si se divide el número por la suma de sus dígitos el resultado es 7.

Solución:

84. Si nuestro número de dos dígitos es AB, entonces la hipótesis “si se divide el número por la suma de sus dígitos el resultado es 7” se puede expresar como 10 A + B = 7 (A + B). Ahora teniendo en cuenta la otra hipótesis “el dígito de las unidades es más pequeño que el dígito de las decenas en 4 unidades”, se tiene que B = A – 4. A partir de ambas se obtiene que A = 8 y B = 4)

 

Mateadictos: Las sumas

Si se suman cuatro números, pero omitiendo cada vez uno de ellos, se obtienen los siguientes resultados: 22, 24, 27 y 20. ¿Cuáles son estos números?

Solución: Los cuatro números son 9, 7, 4 y 11. Si llamamos x, y, z y t a esos cuatro números, la condición del problema nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

y + z + t = 22,

x + z + t = 24,

x + y + t = 27,

x + y + z = 20.

Resolver este sistema es sencillo. Si se restan las dos primeras ecuaciones se obtiene que x = y + 2, si se restan la segunda y tercera, z = y – 3. Ahora introduciendo estos valores en la cuarta ecuación ya sabemos que y = 7. Volviendo a las anteriores x = 9 y z = 4. Solo faltaría t que puede sacarse de cualquiera de las ecuaciones y vale t = 11.)

 

Mateadictos: Los tres armarios

Un hombre tenía en su oficina tres armarios, cada uno de los cuales contenía nueve casilleros, como se muestra en el diagrama. Le dijo a su empleado que colocara un número de una cifra diferente en cada taquilla del armario A, y que hiciera lo mismo en el caso de B, y de C.

 

 

 

 

Ahora bien, el empresario no dijo que los armarios debían ser numerados en ningún orden numérico, y se sorprendió al encontrar, cuando el trabajo estaba hecho, que las cifras habían sido aparentemente mezcladas indiscriminadamente. Al pedirle explicaciones a su empleado, el excéntrico muchacho le dijo que se le había ocurrido ordenar las cifras de manera que en cada caso formaran una simple suma, las dos filas superiores de cifras producían la suma de la fila inferior. Pero el punto más sorprendente era éste: que los había dispuesto de tal manera que la suma en A daba la menor suma posible, que la suma en C daba la mayor suma posible, y que los nueve dígitos de los tres resultados totales de las sumas eran diferentes. El acertijo consiste en mostrar cómo se puede hacer esto. No se admiten decimales y el cero no puede aparecer en el lugar de la centena.

(Nota: El problema está pidiendo que se busquen tres sumas pandigitales (con cero incluido) del tipo ABC + DEF = GHI, la primera la más pequeña posible y la tercera la más grande posible, junto con una última condición, que los resultados de las tres sumas sea pandigital también)

Solución: Como decíamos, nos está pidiendo que busquemos tres sumas del tipo ABC + DEF = GHI. La suma más pequeña de este tipo es 107 + 249 = 356 (que iría en el primer armario), mientras que la suma más grande es 235 + 746 = 981, o también, 324 + 657 = 981 (una de ellas iría en el tercer armario). Como los resultados de esas dos sumas son 356 y 981, entonces el resultado de la suma del armario del centro debe de tener tres de las cifras restantes, es decir, 0, 2, 4, 7. Por lo tanto, las sumas posibles para el armario del centro son 134 + 586 = 720, 134 + 568 = 702 ó 138 + 269 = 407.

 

Mateadictos: Un partido de baloncesto excepcional

Los cinco jugadores titulares de un equipo de baloncesto han marcado solamente entre ellos 100 puntos en un partido memorable:

entre los jugadores 1 y 2 han marcado 52 puntos;
entre los jugadores 2 y 3 han marcado 43 puntos;
entre los jugadores 3 y 4 han marcado 34 puntos;
entre los jugadores 4 y 5 han marcado 30 puntos.

¿Cuántos puntos ha marcado cada jugador?

Solución: Los puntos marcados por cada jugador son: 27, 25, 18, 16 y 14.