Mateadictos: el rompecabezas

Este rompecabezas consta de ocho fichas, cuatro negras y cuatro blancas, que se colocan en línea y con los colores alternos, negro, blanco, negro, blanco, etc (como en la imagen). El juego consiste en disponerlas, utilizando solo cuatro movimientos, de forma que queden juntas cuatro de un mismo color, seguidas de las cuatro del otro color. Cada movimiento consiste en tomar dos fichas contiguas y juntas y sin alterar su orden colocarlas en algún lugar de la fila que quede libre, incluidos los extremos de la fila.


La leyenda del origen del ajedrez y varios juegos de ingenio

Se desconoce cuál es el origen del ajedrez. Sabemos que fue introducido en Europa por los árabes, que lo habían aprendido de los persas, pero a ellos les pudo llegar tanto de la India, como de China. Su origen, tan remoto en el tiempo, ha propiciado que existan muchas leyendas, una de ellas relacionada con las matemáticas. En esta, se atribuye su invención al brahmán hindú Sissa ben Dahir, que presentó el juego al rey Shirham de la India.

Al hilo de esta leyenda, Raul Ibáñez nos propone varios retos de ingenio:

Problema 1: Dado un tablero de ajedrez, 8 x 8, del que eliminamos dos casillas opuestas de las esquinas (por ejemplo, pongamos en ellas dos peones), ¿es posible recubrir este tablero con fichas de dominó (suponiendo que estas fichas tienen el tamaño de dos casillas)?

(Nota: Este problema es de los que no tiene solución, pero ¿por qué?)

 

Problema 2: Si se consideran ahora triominós, que son fichas con tres casillas, pero en forma de L. No puede rellenarse el tablero 8 x 8 con estas fichas, puesto que 64 no es divisible por 3. Sin embargo, si eliminamos una casilla del tablero (por ejemplo, poniendo un peón), ¿será posible recubrir este tablero? (Nota: este problema se puede pensar con tableros de otros tamaños, m, donde m2 – 1 sea divisible por 3)

 

Problema 3 (el recorrido del caballo): Utilizando la pieza del caballo, con su particular movimiento en el ajedrez, realizar un recorrido por todas las casillas del tablero, sin repetir casilla. (Nota: se puede proponer el problema para tableros rectangulares de diferentes tamaños)

 

Problema 4 (las ocho reinas en el tablero de ajedrez): Colocar ocho reinas en el tablero de ajedrez de manera que ninguna de las reinas se vea amenazada por las otras siete. (Nota: se puede hacer con tableros de lado n, con n reinas, para n más pequeños, e incluso más grandes. Yo empezaría por n = 2*, 3*, 4, 5…)

 

Mateadictos: el número de 5 cifras

El problema consiste en adivinar un número de cinco dígitos sabiendo que exactamente un dígito de cada uno de los diez números, de cinco dígitos, que aparecen a continuación está en la misma posición que en el número oculto. ¿Cuál es ese número?

 

01265, 12171, 23257, 34548, 45970, 56236, 67324, 78084, 89872, 99414

 

Solución: 30274.

Teniendo en cuenta que hay diez números, por la hipótesis del problema habrá exactamente diez dígitos que están correctamente posicionados. Pero resulta que en la posición del primer dígito están las diez cifras, del 0 al 9, luego solo una de ellas es la correcta. En consecuencia, en las cuatro últimas posiciones de los diez números hay exactamente nueve dígitos que están correctamente posicionados. En la segunda posición solo el 9 aparece más de una vez, exactamente dos veces, en la tercera posición solo el 2, que aparece tres veces, en la cuarta solo el 7, que aparece tres veces, y en la quinta solo en 4, que aparece tres veces. Como el total debe de sumar nueve dígitos que coinciden, solo hay cuatro opciones para esas cuatro posiciones: a) 9 ? 7 4; b) 9 2 ? 4; c) 9 2 7 ?; d) ? 2 7 4. Las dos primeras no pueden ser ya que el último número tendría, al menos, dos dígitos en posición correcta, la tercera tampoco, por lo mismo, pero para el anteúltimo número, luego debe de ser ? 2 7 4, esto obliga a que en la segunda posición, la del ?,  no haya ninguna coincidencia, ya que 274 ya suman las nueve coincidencias, luego es un número que no aparece, el 0. Y para el primer dígito solo hay una opción, el 3

Mateadictos: el número 45

 

El número 45 tiene algunas propiedades curiosas. Entre otras, puede dividirse en cuatro partes, de tal manera que, si se añade 2 a la primera, se resta dos a la segunda, se multiplica la tercera por 2 o se divide la cuarta por 2, se obtiene siempre el mismo resultado. ¿Cuáles son esas cuatro partes en las que se divide el número 45 de esta forma?

 

Solución:

8 + 12 + 5 + 20 = 45, ya que 8 + 2 = 12 – 2 = 2 x 5 = 20 / 2 = 10

 

 

Mateadictos: Suma de letras

Si cada una de las letras de la siguiente expresión aritmética, una suma, representa una cifra distinta del 0 al 9:

 

 

¿Cuáles son los valores de las letras A, B, C, D, E, F, G?

Solución:  Teniendo en cuenta que A, B y C son números distintos y que la suma da un número de cuatro cifras, se deduce fácilmente que 9 < A + B + C < 25. Como, además, los cuatro dígitos del resultado son distintos, resulta que A + B + C solo puede tomar el valor 19. Por lo tanto, el resultado de la suma es 2.109. Ahora buscamos A, B y C, distintos, que no valgan 0, 1, 2 y 9, y tales que A + B + C = 19.

Es decir,
A = 8, B = 7, C = 4,
o
A = 8, B = 6, C = 5)

 

 

 

 

Mateadictos: orden en la sala

Si ordenamos los números del 1 al 20 de la siguiente forma: 14, 5, 4, 19, 18, 16, 17, 10, 12, 2, 9, 8, 11, 15, 6, 7, 13, 3, 1 y 20. ¿Cuál es el orden que he seguido?

Solución: Los números están ordenados por orden alfabético de sus nombres en español… catorce, cinco, cuatro, diecinueve, dieciocho, dieciséis, diecisiete, diez, doce, etcétera

Mateadictos: otro problema de pesadas


Imaginemos que tenemos 8 bolas metálicas, idénticas en apariencia y tal que todas pesan lo mismo menos una, que pesa 10 gramos menos. Si contamos con una balanza de dos platos, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que necesitamos para averiguar cuál es la bola menos pesada? ¿y cómo hacerlo?

 

Solución: Dos pesadas. En la primera, ponemos tres bolas en cada uno de los platos de la balanza, dejando dos bolas fuera de la pesada. Aquí hay dos opciones:

a) que pesen lo mismo (o lo que es lo mismo, los dos platos están a la misma altura), luego ahí no está la bola que pesa menos y se quitan esas bolas, para poner las otras dos, una en cada plato, de forma que la bola que pesa menos será aquella que queda más arriba;

b) si en la primera pesada no pesan lo mismo, la bola menos pesada estará en el plato que queda más arriba, por lo que nos quedamos con esas tres bolas, y en la segunda pesada ponemos una en cada plato de la balanza, quedando una fuera, y obtendremos la bola que pesa menos… si las balanzas están equilibradas, es la bola que quedó fuera, y si no están equilibradas, entonces la que pese menos de las dos, la del plato más arriba)

 

Mateadictos: El torneo de pelota

En un torneo de pelota mano celebrado este fin de semana en Bilbao cada jugador que perdía un partido quedaba eliminado, además cada partido debía de jugarse con una pelota nueva. Si participaron 123 personas en el torneo, ¿cuántas pelotas se utilizaron?

 

Solución: Al finalizar el torneo solo hay una persona ganadora del mismo, luego 122 quedaron eliminadas, y ese es el número de pelotas utilizadas