Archivo del Autor: Eva Caballero

Mateadictos: plegando papeles

Como yo siempre pongo problemas en el programa, Eva ha decidido ponerme uno a mí. Ella suele tomar notas en unos pequeños papeles rectangulares, de tamaño 8,5 cm de ancho y 11 cm de alto, entonces me ha mostrado uno de esos papeles doblados y me ha pedido que calcule cuanto mide la doblez (el segmento AB en el dibujo que acompaña al problema), sin medir, solo teniendo en cuenta el valor de los segmentos que ella me ha proporcionado y que incluyo en el siguiente dibujo (1,38 cm, 3,82 cm y 10,16 cm).

Si conoces la respuesta, puedes dejar un comentario en esta entrada o escribir a lamecnaicadelcaracol@eitb.eus. ¡¡Hay libros de mates en juego!!

Novelas gráficas muy matemáticas

El matemático Raul Ibáñez ha preparado una lista de novelas gráficas, relacionadas con las matemáticas que queremos compartir con nuestros oyentes:

 La amante cartesiana, Paloma Ruiz Román (guionista), Juan Alarcón (dibujante), Egales, 2016.

Esta novela gráfica está inspirada en un artículo del matemático José Manuel Rey, de la Universidad Complutense de Madrid, que describe un modelo matemático sobre la dinámica de las relaciones de pareja. Además, la protagonista de la historia es una profesora de matemáticas de un instituto de enseñanza secundaria.  

 

Logicomix, Una búsqueda épica de la verdad, Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou (guionistas), Alecos Papadatos (dibujante), Annie Di Donna (colorista), Ediciones Sins Entido, 2011. [versión original en griego de 2008 y versión inglesa de 2009]

 Uno de los guionistas de esta historia es el escritor Apostolos Doxiadis, que tuvo un gran éxito con su novela, del año 1992, El tío Petros y la conjetura de Goldbach.  La historia que se narra en esta novela gráfica es uno de los momentos más apasionantes y decisivos de la historia de las matemáticas, es la discusión teórica sobre los fundamentos de las matemáticas (es decir, el estudio de los conceptos básicos de las matemáticas, de las estructuras fundamentales de esta ciencia y del edificio lógico sobre el que se desarrolla) de finales del siglo XIX y principios del siglo XX. Además, la historia está contada a través de uno de los protagonistas de la misma, el filósofo, lógico y matemático Betrand Russell. Y tendrá como protagonistas a muchos grandes matemáticos del momento, como Frege, Wittgenstein, Hilbert, Gödel o Poincaré, entre otros.

La historia empieza con una conferencia de Bertrand Russell en una universidad estadounidense, justo al inicio de la Segunda Guerra Mundial. A lo largo de dicha conferencia, de hecho, de la novela gráfica, Russell irá narrando la historia de los fundamentos de las matemáticas a través de su propia historia personal, empezando desde el principio, cuando era un niño.

 

Última lección en Gotinga, Davide Osenda, 001 Ediciones, 2009. (versión original en italiano)

Esta novela gráfica está ambientada en la alemania nazi anterior a la Segunda Guerra Mundial, justo después de la expulsión de muchos científicos judíos de la universidad alemana. De la Universidad de Gotinga, lugar en el que transcurre esta historia, se había echado a científicos de la talla de los físicos Max Born, Eugene Wigner, Leo Szilard o Edward Teller, o del matemático Richard Courant y la matemática Emmy Noether.

 La historia de este cómic empieza con un profesor de matemáticas dando su última lección en la Universidad de Gotinga … ante un aula vacía. Aunque, sin que lo sepa el profesor, un estudiante que iba a recoger un libro que se había dejado olvidado en el aula acabará escuchando esa clase. Esta última lección versará sobre un tema también fundamental en matemáticas, el concepto de infinito y la hipótesis del continuo.

 El matemático alemán George Cantor había demostrado en el año 1873 que existían diferentes tipos de infinitos. Por ejemplo, el infinito de los números naturales es más pequeño que el infinito de los números reales, dicho de otra forma, estos no se pueden numerar (por cierto, que en el cómic se reproduce la demostración utilizando las cartas de poker). Más aún, Cantor demostró que existían infinitos (tipos de) infinitos, pero no estaba claro cual de esos infinitos era el de los números reales. Y con esto tiene que ver la conocida como “hipótesis del continuo”, que conjetura que es el infinito de los números reales es el siguiente, en tamaño, después del infinito de los números naturales. Pero no se podía demostrar ese resultado, lo cual nos acaba enlazando este tema con los teoremas de incompletitud de Gödel (en concreto, la existencia de proposiciones que pueden ser verdaderas, pero que no se puede demostrar si lo son, o no).

 La última lección del profesor de matemáticas, que versaba sobre estos temas, transcurre al mismo tiempo que se produce la represión sobre los judíos en alemania, la época en la que empiezan los campos de concentración. De hecho, tras terminar su lección, el matemático es detenido en la calle por los nazis y subido a un camión que se lo lleva.

Las emocionantes aventuras de Lovelace y Babbage, Sydney Padua, Editorial UOC, 2016.

Este cómic, con una estética muy cercana al movimiento steampunk, se centra en la vida y aportaciones científicas de Ada Byron, así como de su relación con Charles Babbage. Pero no solo nos habla de ellos dos, sino que poco a poco va introduciendo muchos otros personajes históricos, como la reina Victoria, el lógico George Boole, la escritora Mary Anne Evans (que firmaba como George Eliot), el matemático y escritor Lewis Carroll, el físico y matemático William Hamilton, entre otros. E incluso se atreve con cuestiones matemáticas como los números complejos y los cuaterniones de Hamilton, las geometrías no euclídeas, o algunas aportaciones matemáticas del grande de las matemáticas, Friedrich Gauss.

Además, no se trata solamente de un cómic. Cada una de las viñetas de una página está acompañada de unas pocas notas a pie de página que aclaran algunos de los aspectos de lo dibujado en dichas viñetas. Pero más aún, al terminar cada capítulo hay notas más extensas sobre aspectos biográficos, históricos y matemáticos. Al final del libro hay un apéndice sobre “algunos documentos principales entretenidos” y otro sobre “la máquina analítica”.

 

Descifrando enigma. Alan Turing, un genio de su tiempo, Jim Ottaviani (guionista), Leland Purvis (dibujante), Oberon (ANAYA), 2019.

El escritor Jim Ottaviani ya tiene una amplia experiencia en la realización de novelas gráficas sobre la vida de distintos científicos. Sus últimas novelas gráficas son Feyman (Norma, 2012), sobre el físico Richard Feyman, Primates (Norma, 2019), sobre las primatólogas Jane Goodall, Dian Fossey y Biruté Galdikas, la mencionada Descifrando Enigma y la última es Hawking.

La novela gráfica Descifrando enigma nos narra la biografía del matemático inglés Alan Turing, en especial, los años de Bletchley Park, en los que trabajó para romper el código de la máquina Enigma durante la segunda guerra mundial, que hemos podido ver también en la gran pantalla, en la película homónima The Imitation Game (Descrifrando enigma) de Morten Tyldum, e interpretada por el actor Benedict Cumberbatch.

La novela está dividida en tres partes, que se dedican a la infancia y juventud de Alan Turing, la parte de los años de la Segunda Guerra Mundial en Bletchley Park y finalmente, los años tras la guerra hasta su muerte. En la historia nos encontramos los elementos que ya conocemos, pero narrados con un estilo propio y fuera de la presión del mundo del cine, de realizar una película comercial: la costumbre de ir corriendo o en bicicleta a todos los sitios, su peculiar infancia y juventud, su relación con Christopher Morcom, su homosexualidad, su creación de la maquina universal (conocida como máquina de Turing), su viaje a Princeton donde estuvo en contacto con Alonzo Church y John von Newman, la anécdota de llevar una máscara antigas por la fiebre del heno, todo su trabajo para construir una máquina, llamada “bomba” que rompiera el código de la máquina de encriptado alemana Enigma, el ambiente de Bletchley Park, su compromiso de matrimonio con Joan Clark, su trabajo sobre las máquinas inteligentes, su detención y condena por ser homosexual, el tratamiento por estrógenos obligado para no ir a la cárcel y su enigmática muerte, entre otros muchos.

 

Por otra parte, nos encontramos con novelas gráficas que no podemos calificar como matemáticas, en el sentido de las anteriores, pero que tienen algún elemento matemático, más o menos destacados, como por ejemplo:

Las calles de arena, Paco Roca, Astiberri, 2009.

Un joven llega tarde a la cita con su pareja y decide tomar un atajo y meterse por una determinada zona de la ciudad, en la que acabará perdiéndose y de donde no podrá salir, por mucho que lo intente. Esa noche, exhausto acabará pidiendo una habitación en un peculiar hotel… este es el punto de inicio de esta novela gráfica.

Al leer esta historia nos veremos transportamos a algunos universos literarios, como Las ciudades Invisibles de Italo Calvino, pero sobre todo al mundo de Borges. Un elemento claro en este sentido, y conectado con las matemáticas, es el personaje que está diseñando un mapa de escala 1:1, es decir, “escala real”, luego un mapa perfecto, pero completamente inútil, sin utilidad alguna, como el mapa del exquisito texto de Borges Del rigor de la ciencia. Idea esta, del mapa de escala 1:1, que también encontramos en el libro Silvia y Bruno, de Lewis Carroll.

Otro mapa que aparece en la historia es el mapa completamente blanco, solo con meridianos y paralelos, sin nada más, que nos recuerda al mapa blanco, también inservible, del poema de Lewis Carroll, La caza del Snark.

Pero uno de los contenidos matemáticos explícitos de esta novela gráfica tiene que ver también con el infinito, de hecho con la paradoja conocida como el hotel infinito de Hilbert, de que hemos hablado aquí en alguna ocasión, y que pone de manifiesto lo extraño de algunas propiedades del infinito (quien no lo recuerde puede ver mi video sobre el hotel infinito de Hilbert, del programa Orbita Laika, que está en el Cuaderno de Cultura Científica).

Cuando el protagonista de la historia, que no puede salir del barrio viejo de la ciudad, descubre que el hotel en el que se aloja es enorme, que se extendiende hacia el cielo, como si no terminase nunca, otro de los personajes, con el que comparte habitación, le dice “Dicen que el Hotel de la Torre tiene infinitas habitaciones. Yo no me lo creo. Lo diseñó un tal Hilbert, matemático, creo”.

 

 

Mateadictos: un problema de cuadrados mágicos

Recordemos que un cuadrado mágico de orden 3 es una distribución de los primeros 9 números, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sobre las casillas de un cuadrado 3 x 3, de forma que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea siempre la misma, como en el cuadrado.

Si admitimos la posibilidad de que esté formado por otros números distintos, ¿cuáles son los números que faltan en el siguiente cuadrado mágico?

Solución:

 

 

 

 

Mateadictos: Un problema de multiplicaciones

Consideremos la siguiente multiplicación, en la que cada letra representa una cifra básica distinta, AB.CDExF=GGG.GGG. ¿Cuál es el valor de cada una de las letras?

Solución: 95.238 x 7 = 666.666

Para empezar, observemos que GGG.GGG = G x 111.111 = G x 3 x 7 x 11 x 13 x 37, que es igual a AB.CDE x F, luego como F divide a G x 3 x 7. Y ahora estudiemos los casos posibles para F.

 

A) Si F divide a G, entonces G = Z x F, para algún Z, y considerando esto en la igualdad del problema, AB.CDE x F = GGG.GGG, se tiene que AB.CDE = Z x 111.111 = ZZZ.ZZZ, que no puede ser. Lo cual elimina los casos F = 0, 1, 2, 4, 5, 8, ya que en esos casos F debe dividir a G.

 

B) Si F = 3, entonces AB.CDE = G x 37.037. Si multiplicamos 37.037 por 0, 1 o 2 se repetirían dígitos, pero los dígitos de AB.CDE son distintos, y si G es mayor que 2 el número de dígitos del producto es seis, luego no puede ser.

 

C) Si F = 6, entonces AB.CDE x 2 = G x 37.037, G sería múltiplo de 2 y AB.CDE = (G/2) x 37.037, luego no es posible.

 

D) Si F = 9, tenemos algo parecido, ya que AB.CDE = (G/3) x 37.037.

 

E) Si F = 7, entonces AB.CDE = G x 15.873; y todos los dígitos de este número son distintos. Ahora se trataría de dar valores a G, entre 1 y 9, y estudiar las posibles soluciones. Por ejemplo, G no puede ser 1 ya que entonces AB.CDE = 15.873 y coincidirían G = A = 1; G no puede ser 5 ya que E sería también 5; o G no puede ser 7, puesto que lo es F; por otra parte, G no puede ser 8 o 9, ya que G x 15.873 tendría 6 dígitos.  Y si miramos el resto de opcines…

 

F = 7, G = 2, AB.CDE = 31.746 (se repite 7)

F = 7, G = 3, AB.CDE = 47.619 (se repite 7)

F = 7, G = 4, AB.CDE = 63.492 (se repite 4)

F = 7, G = 6, AB.CDE = 95.238 (solución!!)

)

 

Mateadictos: el rompecabezas

Este rompecabezas consta de ocho fichas, cuatro negras y cuatro blancas, que se colocan en línea y con los colores alternos, negro, blanco, negro, blanco, etc (como en la imagen). El juego consiste en disponerlas, utilizando solo cuatro movimientos, de forma que queden juntas cuatro de un mismo color, seguidas de las cuatro del otro color. Cada movimiento consiste en tomar dos fichas contiguas y juntas y sin alterar su orden colocarlas en algún lugar de la fila que quede libre, incluidos los extremos de la fila.


La leyenda del origen del ajedrez y varios juegos de ingenio

Se desconoce cuál es el origen del ajedrez. Sabemos que fue introducido en Europa por los árabes, que lo habían aprendido de los persas, pero a ellos les pudo llegar tanto de la India, como de China. Su origen, tan remoto en el tiempo, ha propiciado que existan muchas leyendas, una de ellas relacionada con las matemáticas. En esta, se atribuye su invención al brahmán hindú Sissa ben Dahir, que presentó el juego al rey Shirham de la India.

Al hilo de esta leyenda, Raul Ibáñez nos propone varios retos de ingenio:

Problema 1: Dado un tablero de ajedrez, 8 x 8, del que eliminamos dos casillas opuestas de las esquinas (por ejemplo, pongamos en ellas dos peones), ¿es posible recubrir este tablero con fichas de dominó (suponiendo que estas fichas tienen el tamaño de dos casillas)?

(Nota: Este problema es de los que no tiene solución, pero ¿por qué?)

 

Problema 2: Si se consideran ahora triominós, que son fichas con tres casillas, pero en forma de L. No puede rellenarse el tablero 8 x 8 con estas fichas, puesto que 64 no es divisible por 3. Sin embargo, si eliminamos una casilla del tablero (por ejemplo, poniendo un peón), ¿será posible recubrir este tablero? (Nota: este problema se puede pensar con tableros de otros tamaños, m, donde m2 – 1 sea divisible por 3)

 

Problema 3 (el recorrido del caballo): Utilizando la pieza del caballo, con su particular movimiento en el ajedrez, realizar un recorrido por todas las casillas del tablero, sin repetir casilla. (Nota: se puede proponer el problema para tableros rectangulares de diferentes tamaños)

 

Problema 4 (las ocho reinas en el tablero de ajedrez): Colocar ocho reinas en el tablero de ajedrez de manera que ninguna de las reinas se vea amenazada por las otras siete. (Nota: se puede hacer con tableros de lado n, con n reinas, para n más pequeños, e incluso más grandes. Yo empezaría por n = 2*, 3*, 4, 5…)

 

Mateadictos: el número de 5 cifras

El problema consiste en adivinar un número de cinco dígitos sabiendo que exactamente un dígito de cada uno de los diez números, de cinco dígitos, que aparecen a continuación está en la misma posición que en el número oculto. ¿Cuál es ese número?

 

01265, 12171, 23257, 34548, 45970, 56236, 67324, 78084, 89872, 99414

 

Solución: 30274.

Teniendo en cuenta que hay diez números, por la hipótesis del problema habrá exactamente diez dígitos que están correctamente posicionados. Pero resulta que en la posición del primer dígito están las diez cifras, del 0 al 9, luego solo una de ellas es la correcta. En consecuencia, en las cuatro últimas posiciones de los diez números hay exactamente nueve dígitos que están correctamente posicionados. En la segunda posición solo el 9 aparece más de una vez, exactamente dos veces, en la tercera posición solo el 2, que aparece tres veces, en la cuarta solo el 7, que aparece tres veces, y en la quinta solo en 4, que aparece tres veces. Como el total debe de sumar nueve dígitos que coinciden, solo hay cuatro opciones para esas cuatro posiciones: a) 9 ? 7 4; b) 9 2 ? 4; c) 9 2 7 ?; d) ? 2 7 4. Las dos primeras no pueden ser ya que el último número tendría, al menos, dos dígitos en posición correcta, la tercera tampoco, por lo mismo, pero para el anteúltimo número, luego debe de ser ? 2 7 4, esto obliga a que en la segunda posición, la del ?,  no haya ninguna coincidencia, ya que 274 ya suman las nueve coincidencias, luego es un número que no aparece, el 0. Y para el primer dígito solo hay una opción, el 3

Mateadictos: el número 45

 

El número 45 tiene algunas propiedades curiosas. Entre otras, puede dividirse en cuatro partes, de tal manera que, si se añade 2 a la primera, se resta dos a la segunda, se multiplica la tercera por 2 o se divide la cuarta por 2, se obtiene siempre el mismo resultado. ¿Cuáles son esas cuatro partes en las que se divide el número 45 de esta forma?

 

Solución:

8 + 12 + 5 + 20 = 45, ya que 8 + 2 = 12 – 2 = 2 x 5 = 20 / 2 = 10

 

 

Mateadictos: Suma de letras

Si cada una de las letras de la siguiente expresión aritmética, una suma, representa una cifra distinta del 0 al 9:

 

 

¿Cuáles son los valores de las letras A, B, C, D, E, F, G?

Solución:  Teniendo en cuenta que A, B y C son números distintos y que la suma da un número de cuatro cifras, se deduce fácilmente que 9 < A + B + C < 25. Como, además, los cuatro dígitos del resultado son distintos, resulta que A + B + C solo puede tomar el valor 19. Por lo tanto, el resultado de la suma es 2.109. Ahora buscamos A, B y C, distintos, que no valgan 0, 1, 2 y 9, y tales que A + B + C = 19.

Es decir,
A = 8, B = 7, C = 4,
o
A = 8, B = 6, C = 5)