Las reglas de la divisibilidad, por Raúl Ibáñez

 

Las reglas de divisibilidad de la aritmética parecen pequeños trucos de magia que nos permiten conocer, de forma más o menos rápida, si un cierto número, por ejemplo, 1.056.475.343, es divisible por 2, 3, 4, 5 u otros números. Aunque nos puedan parecer una tontería, e incluso una simple anécdota matemática, estas reglas son muy útiles, y mostraremos a modo de ejemplo algunas sencillas aplicaciones de algunas de las reglas de divisibilidad.

Por ejemplo, en más de una ocasión hemos hablado en este espacio de los números primos, aquellos que solamente son divisibles por el 1 y por ellos mismos, como el 2, el 3 o el 11, pero no el 6, divisible también por 2 y 3. Un resultado sobre números primos fruto de una de las reglas de divisibilidad es el siguiente.

Propiedad 1: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

(Recordemos que los números pandigitales son aquellos que están formados por todas las cifras básicas, con o sin el cero, como 934.521.687 ó 6.054.392.187)

También hemos puesto nuestra atención en algún programa en los números capicúas, de los que podemos obtener la siguiente propiedad.

Propiedad 2: Los números capicúas con un número par de dígitos, por ejemplo, 352.253 son divisibles por 11. Por lo tanto, tampoco son números primos.

En otro programa de hace unos años explicamos un sencillo truco de magia, que se realizaba con una calculadora, basado en la regla de divisibilidad del número 9. En el programa de hoy veremos otro truco de magia basado también en el criterio de divisibilidad del 9.

Pero vayamos a las reglas de divisibilidad. Vamos a empezar explicando las reglas en grupos de números relacionados entre sí.

Reglas de divisibilidad de 2, 5 y 10. Nuestro sistema de numeración es decimal, es decir, la base de numeración con la que trabajamos es 10. Los divisores de este número son 1, 2, 5 y el propio 10, lo cual hace que los criterios de divisibilidad de estos números están relacionados.

La regla de divisibilidad del 10: un número es divisible por 10 si su dígito de las unidades (el primero empezando por la derecha) es 0.

La regla de divisibilidad del 5: un número es divisible por 5 si su dígito de las unidades es 0 o 5.

La regla de divisibilidad del 2: un número es divisible por 2 si su dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.

Vamos a dar una pequeña justificación de estas reglas. En general, las reglas de divisibilidad se pueden demostrar utilizando la representación decimal de los números. Si consideramos un número cualquiera como 8.346, su valor es

8 x 1.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 6

Como las potencias de 10 (1.000, 100 y 10) son divisibles por 10, luego también por 2 y 5, entonces el número será divisible por 10, si lo es la cifra de las unidades, que i) en el caso del 10 significa que las unidades valen 0; ii) en el caso de 5, que valen 0 o 5; iii) en el caso de 2, que valen 0, 2, 4, 6 o 8.

Luego el número 8.346 es divisible por 2, pero no por 5 o 10. O también, el número 564.930 es divisible por 10, luego también por 2 y 5, o el número 735 es divisible por 5, pero no lo es ni por 2, ni por 10. Por otra parte, el número inicial 1.056.475.343 no se puede dividir por ninguno de los tres.

Reglas de divisibilidad de 4, 8, 16, … Los criterios de divisibilidad anteriores, para 2, 5 y 10, se pueden extender a las potencias de estos números de una forma sencilla. Veamos el ejemplo del número 4.

La regla de divisibilidad del 4: un número es divisible por 4 si, y sólo si, él número formado por los dos primeros dígitos de la derecha (decenas y unidades) es divisible por 4.

Así, el número 5.316 es divisible por 4, ya que el número formado por los dos primeros dígitos de la derecha -16- es divisible por 4, mientras que 3.414 no lo es, por no serlo 14.

La justificación de esta regla es similar a la vista en el apartado anterior. La idea es que las potencias de 10, a partir del 100, son divisibles por 4, luego el número es divisible por 4 si, y solo si, el número formado por las decenas y unidades es divisible por 4.

Teniendo en cuenta que 100 = 4 x 25, el argumento es válido para 4 (22), 25 (52) y 100 (102). Es decir, un número es divisible por 4, 25 o 100, respectivamente, si, y sólo si, el número formado por los dos dígitos de la derecha del número original, también lo es. Aunque en el caso de 100 lo que quiere decir es que los dos dígitos de la derecha son ceros.

Por ejemplo, el número 4.200 es divisible por 100, luego por todos los divisores de 100, el número 763.475 es divisible por 25, pero no por 100, ni por 4.

Volvamos a que el número 5.316 es divisible por 4, ya que los dos últimos dígitos -16- lo son. Lo curioso es que podemos seguir añadiendo dígitos a la izquierda del número para obtener números más grandes y la divisibilidad por 4 se mantendrá en todos ellos. Así, el número 2.943. 445.316 sigue siendo divisible por 4, ya que la regla estudiada nos dice que solo importan los dos dígitos de la derecha (16).

Reglas de divisibilidad de 3 y 9. Las reglas de divisibilidad del 3 y el 9 suelen ser de las pocas reglas, además de las de 2, 5 y 10, que suelen aprenderse en la escuela.

Mientras que las reglas anteriores implicaban solo a una pequeña parte del número, formado por cierto grupo de dígitos de su parte derecha, en los criterios de divisibilidad que vamos a ver ahora están implicados todos los dígitos del número.

La regla de divisibilidad del 3: un número es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3.

La demostración, haciendo uso de la representación posicional decimal de los números, es también muy sencilla, aunque no vamos a explicarla aquí. Para quienes estéis interesados podéis leerla en un artículo reciente que he publicado sobre el tema en el Cuaderno de Cultura Científica de la UPV.

Veamos si el número del principio, 1.056.475.343, es divisible por 3. No lo es, ya que la suma de sus dígitos es 38, que no es divisible por 3. Por otro lado, el número 197.536.892.361 sí es divisible por 3, ya que a suma de sus dígitos es 60, claramente múltiplo de 3.

Más aún, como la condición que debe cumplir un número para ser divisible por 3 es que la suma de los dígitos del mismo también sea divisible por 3, se puede aplicar de nuevo la regla de divisibilidad a esta última cantidad, si fuese grande. Es decir, tenemos una regla que se puede aplicar de forma recursiva. [Por ejemplo, para saber si el número 794.612.966.663.462.659.937 es divisible por 3, hay que sumar sus dígitos y esa suma es 116, pero a su vez para saber si este es divisible por 3 sumamos sus dígitos 1 + 1 + 6 = 8, cuyo resultado no es divisible por 3, luego tampoco el número enorme anterior.]

Además, el argumento que se ha realizado para el número 3 demuestra lo mismo para el número 9.

La regla de divisibilidad del 9: un número es divisible por 9 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Ya estamos en condiciones de demostrar la propiedad 1 que he mencionado al principio: No existe ningún número pandigital que sea un número primo.

El motivo es que la suma de los dígitos de un número pandigital es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, que es múltiplo de 9, luego cualquier número pandigital es múltiplo de 9, luego no es primo.

Veamos un truco de magia basado en esta idea. Se pide a una persona que piense –y escriba en un papel– un número de cinco o seis dígitos, aunque puede ser otra cantidad de dígitos. Por ejemplo, el número 632.571. Se puede enseñar el número a las demás personas “al resto del público”, pero no a la persona que le hace el truco. Después se le pide que cambie, a su gusto, el orden de los dígitos del número. Por ejemplo, 521.736. Y, además, que reste el mayor del menor, 632.571 – 521.736 = 110.835. A continuación, se le pide que elija uno de los dígitos no nulos del número que ha resultado de la resta. Supongamos que elige el 1. Lo siguiente es que diga en alto el resto de los dígitos y la persona que hace el truco adivinará, por arte de magia, el dígito que falta. La clave está en que el número resultante de la resta, en el ejemplo, 110.835, es siempre divisible por 9 (es sencillo justificar esto utilizando la representación decimal de los números), luego verifica la regla de divisibilidad. Como ha elegido el 1, la suma del resto es 1 + 0 + 8 + 3 + 5 = 17, y aplicando la regla de nuevo 1 + 7 = 8. Como falta 1 para llegar a 9, entonces, ese es el dígito elegido y oculto. 

Las reglas de divisibilidad de los números 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4 y 15 = 3 x 5 son consecuencia inmediata de las reglas anteriores, por ejemplo, un número es divisible por 6 si es divisible por 2y 3, luego:

La regla de divisibilidad del 6: un número es divisible por 6 si, y sólo si, el dígito de las unidades es 2, 4, 6, 8 o 0, y la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Vamos a terminar con las reglas de divisibilidad de 7, 11 y 13, que están relacionadas porque 1001 = 7 x 11 x 13.

La regla de divisibilidad del 11: un número es divisible por 11 si, y sólo si, la suma alternada de sus dígitos (es decir, se va alternando suma y resta) es múltiplo de 11 (incluido el 0).

Veamos algún ejemplo. Empecemos por el número con el que abríamos esta entrada, el 1.056.475.343. Calculemos la suma alternada de sus dígitos 1 – 0 + 5 – 6 + 4 – 7 + 5 – 3 + 4 – 3 = 0, luego es múltiplo de 11. Otro ejemplo sería el número 2.519, cuya suma alternada de sus dígitos es 2 – 5 + 1 – 9 = – 11, luego efectivamente el divisible por 11.

Por este criterio es fácil ver que: Los números capicúas con un número par de dígitos son divisibles por 11.

En los números capicúas con una cantidad par de dígitos, como 327.723, los dígitos que ocupan posiciones impares y pares son los mismos, e igual a los dígitos que están en la derecha y la izquierda del número (posiciones impares desde la izquierda, 3, 7, 2, mientras que en las pares 2, 7, 3), luego la suma alternada es cero, por lo que se cumple la regla de divisibilidad del 11.

La regla de divisibilidad del 7, 11 y 13. Un número es divisible por 7, 11 o 13, resp., si la suma alternada de los grupos de tres dígitos, empezando por la derecha, también lo es.

Por ejemplo, si tomamos la suma alternada de los grupos de tres dígitos del número 5.166.574.959 se obtiene 959 – 574 + 166 – 5 = 546. Como 546 es el producto de 6, 7 y 13, se deduce que el anterior número es divisible por 7 y 13, pero no por 11.

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