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Mateadictos: las gracias y las musas

Cierto día de verano nueve amigas que querían comprar flores se encontraron con tres vendedoras de rosas, cada una de las cuales llevaba la misma cantidad de rosas que el resto pero de distintos colores. Cada una de las vendedoras de rosas vendió a cada amiga la dieciochoava parte de sus rosas. Mientras pagaban las rosas, las amigas se dieron cuenta que cada una de ellas tenía 12 rosas menos que las que le habían quedado a cada una de las vendedoras. ¿Cuántas rosas tenía cada una de las vendedoras originalmente?

Solución: Cada vendedora tenía 36 rosas. Supongamos que cada vendedora tenía x rosas, como vendió x/18 rosas a cada amiga y eran 9 amigas, entonces vendió 9x /18 = x/2. Luego vendió la mitad de las rosas x/2 rosas y se quedó con la otra mitad x/2. Por otra parte, cada amiga recibió x/18 rosas de cada vendedora, luego 3x/18 = x/6 rosas en total. Y como la diferencia entre la cantidad de rosas de cada vendedora y cada compradora son 12, entonces x/2 – x/6 = 12, de donde x = 36

 

Mateadictos: Siempre sobra una

El otro día le pregunté a mi hijo cuántas monedas de un euro tenía ahorradas en la hucha que tiene en su cuarto y para mi sorpresa me respondió “Si divido la cantidad de monedas de un euro por 2, me sobra una; si la divido por 3, me vuelve a sobrar una; y lo mismo si divido esa cantidad por 4, 5 o 6. A ver Aita, ¿cuántas monedas de un euro tengo?

Solución: La respuesta es 61. Supongamos que x son las monedas de un euro que tiene en su hucha. Por la hipótesis del problema, x – 1 es divisible por 2, 3, 4, 5 y 6, ya que siempre sobra una al dividir por estos números. Por lo tanto, x – 1 es múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6. El mínimo común múltiplo es 60, luego la cantidad mínima posible sería 61. Aunque también podría ser un múltiplo de 60, como 120, 180, 240, 300, etc. y entonces la cantidad de monedas sería 121, 181, 241, 301, etc.)

Mateadictos: un problema de lápices

Ayer mi hijo me preguntó cuántos lápices tenía en el bote que está en mi mesa y yo, que soy un poco guasón, le contesté “los que tengo, más otros tantos, más la mitad de los que tengo, más siete suman 32”. ¿Cuántos lápices tengo?

La solución se obtiene con una sencilla ecuación matemática, ya que si x es la cantidad de lápices que tengo, lo que le dije a mi hijo “los que tengo, más otros tantos, más la mitad de los que tengo, más siete suman 32”, nos dice que x + x + x/2 + 7 = 32, cuya solución es x = 10)

Mateadictos: Números con dígitos repetidos

Busca un número que multiplicado por 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 y 27 dará siempre un número con todos sus dígitos repetidos.

 

 

 

Todos los números por los que vamos a multiplicar –3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 y 27– son múltiplos de 3, luego los números con los dígitos repetidos tienen que ser múltiplos de 3. Si tomamos 111 –que es el número más pequeño en el que se repiten los 1 y es divisible por 3– y lo dividimos por 3, nos da 37. Además, como los demás números a multiplicar son los nueve múltiplos de 3 consecutivos, 3 x1, 3 x 2, 3 x 3, hasta 3 x 9, si tomamos 37 y lo multiplicamos por los múltiplos de 3, desde 3 hasta 27 (3 x 9) dan todos los números de tres dígitos con los dígitos repetidos: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 y 999. Luego la solución es 37.

Lo mismo se podría hacer con 111.111, que nos daría el número 37.037, con 111.111.111, que daría el número 37.037.037 o cualquier otro número formado por una cantidad múltiplo de tres de unos.

 

 

 

Mateadictos: El número 45

El número 45 tiene una curiosa propiedad relacionada con el número 2, ya que se puede expresar como suma de cuatro números tales que, si sumamos 2 al primero, restamos 2 al segundo, multiplicamos por 2 al tercero y dividimos el cuarto por 2, se obtiene siempre el mismo resultado. ¿Quiénes son esos cuatro números?

Solución:

Si el número 45 se descompone como suma de cuatro números a + b + c + d = 45, tales que, si sumamos 2 al primero, restamos 2 al segundo, multiplicamos por 2 al tercero y dividimos el cuarto por 2, se obtiene siempre el mismo resultado, entonces a + 2 = b – 2 = 2c = d/2.

Ahora expresando a, b y d en función de c, y metiendo esas expresiones en la ecuación a + b + c + d = 45, se obtiene que 9c = 45, luego c =5. Más aún, a = 8, b = 12, c = 5 y d = 20)

 

Mateadictos. el número misterioso

Cierto número, terminado en 2, tiene la curiosa propiedad de que, al cambiar de lugar esta cifra y colocarla al principio, el número resultante es el doble del número inicial. ¿Cuál es el número inicial?

 

Solución: Si el número inicial termina en 2, al multiplicarlo por 2, la última cifra del resultado es 4, pero como el doble del número inicial coincide con el número obtenido al poner el 2 al principio del número, entonces el penúltimo dígito del número inicial es 4.

Como el penúltimo dígito del número inicial es 4, al multiplicarlo por 2, queda 8, que será entonces –por el mismo argumento anterior- el antepenúltimo dígito del número inicial.

Repitiendo este proceso hasta que obtengamos el dígito 1 al inicio del número inicial, ya que el doble es 2, que es el dígito al inicio del número final, ya que se ha trasladado el 2, se obtiene que la solución es 105263157894736842.)

 

Mateadictos: el escuadrón aéreo

Un escuadrón aéreo tiene alrededor de 50 aviones. Su formación de vuelo es un triángulo equilátero y cada avión, menos el primero, está colocado en la mitad de dos aviones que van delante. Como consecuencia de un combate, varios aviones son derribados. Cuando el escuadrón regresa a la base los aviones forman cuatro triángulos equiláteros, aunque si tenemos en cuenta los que han sido derribados, estos también podrían haber formado un triángulo equilátero. Si todas las formaciones aéreas son de distintos tamaños, ¿cuántos aviones formaban el escuadrón originalmente?

Solución:

Si empezamos a pensar en cuantos aviones forman un escuadrón con ese tipo de formación de vuelo, tenemos que el grupo más pequeño es de 3 aviones – uno delante y dos detrás-, el siguiente es de 6 aviones – uno delante, dos detrás de ese y tres en la siguiente línea- y las siguientes formaciones serían de 10, 15 y 21 aviones. Pero si sumamos estas tendríamos un escuadrón total de 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 55 aviones, que también pueden ir formando de esa forma triangular, con diez filas y diez aviones en la última fila.

Mateadictos: Sujiko

El tablero del sujiko es una cuadrícula 3 x 3, con cuatro espacios circulares colocados en las cuatro intersecciones de las líneas horizontales y verticales de la cuadrícula, en los cuales hay escritos cuatros números (por ejemplo, 12, 19, 24, 27, en el que proponemos aquí). El objetivo del pasatiempo es colocar los números del 1 al 9 en las celdas –aunque puede haber ya alguno colocado, como pista (en el sujiko que planteamos 4 en la casilla central de la izquierda)– de forma que la suma de los números que estén en los recuadros alrededor de cada círculo es exactamente el número escrito en el mismo.

Solución:

Si conoces la solución puedes dejar un comentario aquí o escribir un correo electrónico a lamecanicadelcaracol@eitb.eus